Problème trigonométriques

[margan]

Bonjour.
J'essai de faire ce devoir depuis plus d'une semaine et je n'y arrive vraiment pas. Il ne me reste plus que ce soir pour pouvoir le faire.
J'aurai aimé savoir si vous auriez pu m'aider, le sujet est donc celui-ci :

A) Le réel alpha étant donnée, on désigne par A et B les points du cercle trigonométrique C respectivement associés à alpha et 2alpha.

1)Montrer que I et B sont symétriques par rapport à (OA) (En se rappelant que I est lee point C d'abscisse curviligne 0)

2)En déduire que OC=OI+OB est colinéaire à OA, puisqu'il existe un réel oméga tel que :
cos2alpha = omega x cosalpha-1 et sin2alpha = omega x sinalpha

3)A l'aide de la relation cos(au carré) alpha + sin(au carré) alpha = 1, prouver que:
omega = 2 x cos alpha

4) Déduire des résultats précédents que :
cos2aplha = 2cos(au carré) alpha - 1 et sin2alpha = 2cosalpha x sin alpha
et qu'en particulier cos(4pi sur 5) = 2 x cos(au carré)(2pi sur 5)-1


J'espere que vous pourrez M'aider, Merci d'avance.
Marine.

[Florélianne]

Bonsoir,

A) Le réel alpha étant donnée, on désigne par A et B les points du cercle trigonométrique C respectivement associés à alpha et 2alpha.

1)Montrer que I et B sont symétriques par rapport à (OA) (En se rappelant que I est lee point C d'abscisse curviligne 0)
A est associé à alpha B à 2alpha donc [OA) est la bissectrice de l'angle IOB
donc (OA) est l'axe de symétrie de l'angle IOB
comme OI=OB
I et B sont symétriques par rapport à (OA)

2)En déduire que OC=OI+OB est colinéaire à OA, puisqu'il existe un réel oméga tel que :
cos2alpha = omega x cosalpha-1 et sin2alpha = omega x sinalpha
pour simplifier les notation je remplace alpha par a, les vecteurs sont soulignéscos 2a= cos²a - sin²a= 2cos²a-1
sin 2a = 2sin a cos a
z=oméga = 2cos a
cos 2a = z cosa -1 ; et sin 2a = zsin a

OC= OI + OB = OI + cos 2a OI + sin 2a OJ =
OC= OI + (z cos a -1)OI + z sin a OJ
OC = OI + z cos a OI - OI + z sin a OJ
OC = z cos a OI + z sin a OJ = z(cos a OI + sin a OJ)
OC = z OA
donc les vecteurs OA et OC sont colinéaires

3)A l'aide de la relation cos(au carré) alpha + sin(au carré) alpha = 1, prouver que:
omega = 2 x cos alpha
désolée mais je n'ai pas bien compris le but du problème... puisque j'ai utilisé les formule du cosinus et sinus d'une somme! j'ai calculé oméga pour prouver la colinéarité...
j'aurais pû la prouver par la symétrie mais ça n'utilisait pas les sinus et cosinus...
4) Déduire des résultats précédents que :
cos2aplha = 2cos(au carré) alpha - 1 et sin2alpha = 2cosalpha x sin alpha
et qu'en particulier cos(4pi sur 5) = 2 x cos(au carré)(2pi sur 5)-1
tant pis il est trop tard de toutes façons ...la prochaine fois, n'attends pas le dernier moment pour demander de l'aide !surtout le dimanche! Je suis personnellement débordée par mes habitués...si bien que je vois à peine mon fils!
Très cordialement,

[Florélianne]

Bonjour,

Je n'ai pu dormir en paix en sachant avoir laissé quelqu'un sans secours. Je me doure bien qu'il doit être trop tard, mais tant pis, pour ma paix intérieure...

2)En déduire que OC=OI+OB est colinéaire à OA, puisqu'il existe un réel oméga tel que :
cos2alpha = omega x cosalpha-1 et sin2alpha = omega x sinalpha

OC=OI+OB donc OICB est un parallélogramme,
I et B sont sur le cercle trigonométrique donc OI=OB=1
OICB est un parallèlogramme qui a deux côtés consécutifs isométriques
donc OICB est un losange
donc ses diagonales [OC] et [BI] se coupent perpendiculairement en leur milieu
donc (OC) est la médiatrice de [IB]

mais les points B et I sont symétriques par rapport à (OA), donc (OA) est la médiatrice de [IB]
donc (OC)=OA)
donc les points O, A, C sont alignés
donc les vecteurs OA et OC sont colinéaires
donc il existe z réel tel que OC = z OA
A est sur le cercle trigonométrique donc OA = cos a OI + sin a OJ
donc OC= zcos a OI + z cosa OJ
mais OC=OI + OB donc OB = OC - OI
OB = zcos a OI + z cosa OJ - OI = (zcos a -1)OI + zsin a OJ
mais OB = cos 2a OI + sin 2a OJ
comme les coordonnées dans un repère sont uniques :
z cos a -1 = cos 2a et z sina = sin 2a
donc il existe un réel z tel que :
cos 2a = z cos a -1 et sin 2a = z sin a

3)A l'aide de la relation cos(au carré) alpha + sin(au carré) alpha = 1, prouver que:
omega = 2 x cos alpha

cos² 2a + sin²2a = 1
(zcos a -1)² +(zsin a)² = 1
z²cos²a - 2zcosa +1 + z²sin²a=1
z²(cos²a + sin²a) -2z cos a =0
z² - 2z cosa = 0
z(z- 2cos a) =0 comme z > 1
z - 2cos a = 0 donc z = 2cos a

4) Déduire des résultats précédents que :
cos2aplha = 2cos(au carré) alpha - 1 et sin2alpha = 2cosalpha x sin alpha
on a vu à la question 2 :
cos 2a = z cos a -1 donc cos 2a = 2cos a(cos a) -1= 2cos²a -1
et sin 2a = z sina donc sin 2a = 2cos a sina

cos 2a = 2cos²a -1 et sin 2a = 2 cosa sina

et qu'en particulier cos(4pi sur 5) = 2 x cos(au carré)(2pi sur 5)-1
donc cos (4pi/5) = cos 2(2pi/5) = 2cos²(2pi/5) -1

En cas d'urgence, contacte-moi à [email="Florelianne@neuf.fr"]Florelianne@neuf.fr[/email]
Je n'ai découvert hier soir ta demande d'aide qu'à 23h, après une journée très chargée...
Très cordialement