Bonsoir, J'ai in problème que je ne peux pas résoudre toute seule, il me faudrait de l'aide S.V.P.
Voici l'énoncé: A partir du nombre 1999, on construit une suite de nombre de la manière suivante, chaque nombre est égal à la somme des carrés des chiffres du nombre précédent.
1) Calculer les 20 premiers nombre de cette suite
2) Déterminer le 1999 nombre de la suite
Problème
17 messages
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par mathador » 03 Juin 2005, 20:07
Bonjour,
si je ne fais pas erreur, on obtient la série :
244 ; 36 ; 45 ; 41 ; 17 ; 50 ; 5 et la suite ne comporte que des 5.
Le 1999ème nombre est donc 5 ... ça me paraît un peu facile, mais je ne vois pas d'erreur de calcul !
Bonne continuation
si je ne fais pas erreur, on obtient la série :
244 ; 36 ; 45 ; 41 ; 17 ; 50 ; 5 et la suite ne comporte que des 5.
Le 1999ème nombre est donc 5 ... ça me paraît un peu facile, mais je ne vois pas d'erreur de calcul !
Bonne continuation
par Alpha » 03 Juin 2005, 20:11
Je n'ai pas fait le problème,
mais vu l'énoncé,
il est clair que, si à partir du calcul des 20 premiers termes de la suite, on te demande le 1999 ème,
c'est que le calcul des 20 premiers termes fait apparaître une périodicité.
En effet, si à un moment, au cours du calcul des 20 1ers chiffres, tu retombes sur un nombre déjà trouvé à un rang i , alors les nombres qui vont suivre sont ceux qui suivaient le nombre de rang i.
La suite est donc périodique à partir du rang auquel tu tombes sur le nombre qui se répétera en premier.
Ensuite, il y a 1999 - i + 1 termes entre le terme de rang i et le terme de rang 1999.
Tu détermines ensuite la congruence de (1999-i+1) modulo la longeur de la période, qui est i, et en regardant les 20 1ers chiffres, tu peux déterminer la valeur du 1999 ème terme.
Voilà, je ne te garantis pas que je n'ai pas fait d'erreur,
mais en tout cas je t'ai donné la méthode générale pour résoudre le problème.
;)
Alpha
mais vu l'énoncé,
il est clair que, si à partir du calcul des 20 premiers termes de la suite, on te demande le 1999 ème,
c'est que le calcul des 20 premiers termes fait apparaître une périodicité.
En effet, si à un moment, au cours du calcul des 20 1ers chiffres, tu retombes sur un nombre déjà trouvé à un rang i , alors les nombres qui vont suivre sont ceux qui suivaient le nombre de rang i.
La suite est donc périodique à partir du rang auquel tu tombes sur le nombre qui se répétera en premier.
Ensuite, il y a 1999 - i + 1 termes entre le terme de rang i et le terme de rang 1999.
Tu détermines ensuite la congruence de (1999-i+1) modulo la longeur de la période, qui est i, et en regardant les 20 1ers chiffres, tu peux déterminer la valeur du 1999 ème terme.
Voilà, je ne te garantis pas que je n'ai pas fait d'erreur,
mais en tout cas je t'ai donné la méthode générale pour résoudre le problème.
;)
Alpha
par Anonyme » 03 Juin 2005, 20:15
salu :-)
En fait ce qu'il faut faire c'est essayer de construire la suite en fonction du rang du terme à calculer. Par exemple, si tu veux calculer le terme du rang 2 (qu'on note u[indice 2], u_2), il faut l'exprimer en fonction de 2. Pareil pour 3, 4, 5 etc... En procédant ainsi, on peut trouver la forme général de l'expression de la suite, en fonction de n'importe quel rang n, (u[indice n], u_n).
Pour ton exo :
nombre = 1999 (c'est le nombre qu'on te donne pour construire la suite, il ne fait pas partie de la suite !)
u_1 = 1² + 9² + 9² + 9² (selon la règle de construction)
u_2 = 1²(²) + 9²(²) + 9²(²) + 9²(²)
u_3 = 1²(²)(²) + 9²(²)(²) + 9²(²)(²) + 9²(²)(²)
.
.
.
u_n = 1^(2n) + 9^(2n) + 9^(2n) + 9^(2n)
En effet, on remarque que u_2 = 1^(2*2) + 9^(2*2) + 9^(2*2)+ 9^(2*2)
u_3 = 1^(3*2) + 9^(3*2) + 9^(3*2)+ 9^(3*2)
u_4 = 1^(4*2) + 9^(4*2) + 9^(4*2)+ 9^(4*2)
etc... on a réussi à exprimer la suite en fonction du rang. Pour un rang quelconque n, le "schéma" reste le même, d'où u_n.
En simplifiant, on a u_n = 1 + 3*[9^(2n)]=1 + 3*[3^(4n)]=1 + 3^(4n+1).
On aurait pu simplifier les premiers termes calculés de la suite, u_1, u_2, u_3.
Maintenant pour la question 1, il suffit de remplacer n par 1 à 20, et de faire le calcule. Pour la question 2, il faut remplacer n par 1999.
Voilà !
En fait ce qu'il faut faire c'est essayer de construire la suite en fonction du rang du terme à calculer. Par exemple, si tu veux calculer le terme du rang 2 (qu'on note u[indice 2], u_2), il faut l'exprimer en fonction de 2. Pareil pour 3, 4, 5 etc... En procédant ainsi, on peut trouver la forme général de l'expression de la suite, en fonction de n'importe quel rang n, (u[indice n], u_n).
Pour ton exo :
nombre = 1999 (c'est le nombre qu'on te donne pour construire la suite, il ne fait pas partie de la suite !)
u_1 = 1² + 9² + 9² + 9² (selon la règle de construction)
u_2 = 1²(²) + 9²(²) + 9²(²) + 9²(²)
u_3 = 1²(²)(²) + 9²(²)(²) + 9²(²)(²) + 9²(²)(²)
.
.
.
u_n = 1^(2n) + 9^(2n) + 9^(2n) + 9^(2n)
En effet, on remarque que u_2 = 1^(2*2) + 9^(2*2) + 9^(2*2)+ 9^(2*2)
u_3 = 1^(3*2) + 9^(3*2) + 9^(3*2)+ 9^(3*2)
u_4 = 1^(4*2) + 9^(4*2) + 9^(4*2)+ 9^(4*2)
etc... on a réussi à exprimer la suite en fonction du rang. Pour un rang quelconque n, le "schéma" reste le même, d'où u_n.
En simplifiant, on a u_n = 1 + 3*[9^(2n)]=1 + 3*[3^(4n)]=1 + 3^(4n+1).
On aurait pu simplifier les premiers termes calculés de la suite, u_1, u_2, u_3.
Maintenant pour la question 1, il suffit de remplacer n par 1 à 20, et de faire le calcule. Pour la question 2, il faut remplacer n par 1999.
Voilà !
par Alpha » 03 Juin 2005, 20:25
Salut, Reav,
je ne suis pas tout à fait d'accord.
Pour moi "à partir" de 1999 est clair : 1999 est le 1er terme de la suite. Et on dit bien que chaque nombre est la somme des chiffres du nombre précédent, ce qui ne correspond pas à ce que tu as fait.
Et si ce que tu dis était vrai, pourquoi donc calculer les 20 1ers termes ?
En effet, pas besoin de ça si l'on comprend le problème comme tu l'as compris. Ce n'est donc pas comme cela qu'il fallait le comprendre.
;)
je ne suis pas tout à fait d'accord.
Pour moi "à partir" de 1999 est clair : 1999 est le 1er terme de la suite. Et on dit bien que chaque nombre est la somme des chiffres du nombre précédent, ce qui ne correspond pas à ce que tu as fait.
Et si ce que tu dis était vrai, pourquoi donc calculer les 20 1ers termes ?
En effet, pas besoin de ça si l'on comprend le problème comme tu l'as compris. Ce n'est donc pas comme cela qu'il fallait le comprendre.
;)
par evilangelium » 03 Juin 2005, 20:30
essayons d'être autant constructif que vous..
après calcul,
u0 = 1999
u1 = 244
u2 = 36
u3 = 45
u4 = 41
u5 = 17
u6 = 50
u7 = 25
u8 = 29
u9 = 85
u10 = 89
u11 = 155
u12 = 51
u13 = 26
u14 = 40
u15 = 16
u16 = 37
u17 = 57
u18 = 74
u19 = 55
u20 = 50
on remarque que u6 = u20
d'après la définition de la suite, on peut établir que
u(14+k) = uk soit une périodicité de 14 et donc
u(14n+k) = uk
1999 = 14*142 + 11
u1999 = u11 = 155
pourquoi pas :D
après calcul,
u0 = 1999
u1 = 244
u2 = 36
u3 = 45
u4 = 41
u5 = 17
u6 = 50
u7 = 25
u8 = 29
u9 = 85
u10 = 89
u11 = 155
u12 = 51
u13 = 26
u14 = 40
u15 = 16
u16 = 37
u17 = 57
u18 = 74
u19 = 55
u20 = 50
on remarque que u6 = u20
d'après la définition de la suite, on peut établir que
u(14+k) = uk soit une périodicité de 14 et donc
u(14n+k) = uk
1999 = 14*142 + 11
u1999 = u11 = 155
pourquoi pas :D
par Alpha » 03 Juin 2005, 20:39
Faux !
Tu as effectivement commencé à procéder comme je l'avais indiqué,
mais à la fin tu as oublié que la périodicité n'existe qu'à partir de 6 !
Par conséquent le rang est 6+11 = 17
donc u1999=u17 ...
;)
/ Alpha \
Tu as effectivement commencé à procéder comme je l'avais indiqué,
mais à la fin tu as oublié que la périodicité n'existe qu'à partir de 6 !
Par conséquent le rang est 6+11 = 17
donc u1999=u17 ...
;)
/ Alpha \
par evilangelium » 03 Juin 2005, 20:39
u0 = 1999
u1 = 1² + 9² + 9² + 9² = 244
u2 = 2² + 4² + 4² = 36
u3 = 3² + 6² = 45
nan ?
@alpha: exact, suis allé trop vite Oo
u1 = 1² + 9² + 9² + 9² = 244
u2 = 2² + 4² + 4² = 36
u3 = 3² + 6² = 45
nan ?
@alpha: exact, suis allé trop vite Oo
par leibniz » 03 Juin 2005, 20:47
qui te garantie que la suite et periodique ? ce n'est pas une demonstration c'est juste une remarque ki peut etre vraie comme elle peut etre fausse n'est-ce pas?
par evilangelium » 03 Juin 2005, 20:59
pour moi, la définition de la suite (par récurrence), est suffisante pour mettre en évidence la périodicité
sinon que faut-il écrire ?
sinon que faut-il écrire ?
par Alpha » 03 Juin 2005, 21:01
Si, Leibniz, ce qui précède est une démonstration (ce que j'ai écrit + ce qu'à écrit evilangelium).
Il est évident que, à partir du 20ème terme, tu vas repartir sur les même calculs et qu'il va y a voir ce que l'on appelle un cycle.
Mais tiens, il me vient une idée, pourquoi ne le montrerions nous pas par récurrence?
L'intitialisation est déjà faite.
On suppose que, pour un certain k, u(6+14k), u(6+14k +1), ...., u(6+14k+13) sont égaux respectivement à u6, u7,...,u20.
Alors on calcule u(6 + 14(k+1)) à partir de u(6+14k+13), et on continue à calculer de proche en proche..., et la propriété est démontrée, par récurrence.
Mais ici la périodicité, la cyclicité à partir d'un certain terme de la suite est évidente,
tellement, qu'il n'est pas nécessaire de faire une récurrence.
Cela reviendrait à faire une récurrence lorsqu'on étudie les congruences et qu'on montre une pérodicité dans ces congruences.
;)
Alpha
Il est évident que, à partir du 20ème terme, tu vas repartir sur les même calculs et qu'il va y a voir ce que l'on appelle un cycle.
Mais tiens, il me vient une idée, pourquoi ne le montrerions nous pas par récurrence?
L'intitialisation est déjà faite.
On suppose que, pour un certain k, u(6+14k), u(6+14k +1), ...., u(6+14k+13) sont égaux respectivement à u6, u7,...,u20.
Alors on calcule u(6 + 14(k+1)) à partir de u(6+14k+13), et on continue à calculer de proche en proche..., et la propriété est démontrée, par récurrence.
Mais ici la périodicité, la cyclicité à partir d'un certain terme de la suite est évidente,
tellement, qu'il n'est pas nécessaire de faire une récurrence.
Cela reviendrait à faire une récurrence lorsqu'on étudie les congruences et qu'on montre une pérodicité dans ces congruences.
;)
Alpha
par leibniz » 03 Juin 2005, 21:10
est ce que tu peux eclaircir ta recurence car c'est pas comme ca qu'on demontre par reccurence chez nous au maroc :D Merci
par Alpha » 03 Juin 2005, 21:41
Je ne doute pas un seul instant que les récurrences au Maroc soient les mêmes qu'en France, et c'est encore heureux!
Je ne peux pas plus éclaircir que cela, c'est déjà très clair :
je pose, pour un certain k, la propriété Hk :
u(6+14k) , u(6+ 14k +1), ..., u(6+ 14k +13) égaux respectivement à u6, ..., u20
Je suppose Hk vraie. Je montre H(k+1) vraie en utilisant le fait que u(6+14k+13) =u20 (contenu dans l'hypothèse de récurrence) et à partir de là, connaissant la valeur de u20, je calcule de proche en proche u(6+14k +14)= u(6+14(k+1)) (en utilisant la définition de la suite, c'est-à-dire que chaque terme est la somme des carrés des chiffres du nombre précédent), puis j'arrive jusqu'à u(6+14(k+1) +13),
donc j'ai H(k+1).
Donc voilà c'est une récurrence banale.
;)
Alpha
Je ne peux pas plus éclaircir que cela, c'est déjà très clair :
je pose, pour un certain k, la propriété Hk :
u(6+14k) , u(6+ 14k +1), ..., u(6+ 14k +13) égaux respectivement à u6, ..., u20
Je suppose Hk vraie. Je montre H(k+1) vraie en utilisant le fait que u(6+14k+13) =u20 (contenu dans l'hypothèse de récurrence) et à partir de là, connaissant la valeur de u20, je calcule de proche en proche u(6+14k +14)= u(6+14(k+1)) (en utilisant la définition de la suite, c'est-à-dire que chaque terme est la somme des carrés des chiffres du nombre précédent), puis j'arrive jusqu'à u(6+14(k+1) +13),
donc j'ai H(k+1).
Donc voilà c'est une récurrence banale.
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Alpha
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