Problème

[JérémyDubois]

Bonjour
Voila je n'arrive pas à comprendre la solution à ce problème, notamment avec l'apparition des premiers


b) Est-il possible de répartir les nombres 1; 2; 3; : : : ; 20 en dix paires de sorte
que les dix sommes par paires donnent dix nombres premiers différents ?


Solution de l’exercice 4 b)
b) Les nombres premiers sommes de deux entiers distincts parmi 1; : : : ; 20
sont compris entre 3 et 39, donc figurent parmi 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37.
La somme de ces nombres premiers vaut 195, qui est strictement plus petite
que 1 + 2 +


+ 20 = 210. Par conséquent, il n’est pas possible d’effectuer le
regroupement comme dans l’énoncé.

[Pseuda]

Bonjour,

On essaie d'aboutir à une contradiction. Pour cela, on imagine qu'on regroupe les nombres de 1 à 20 deux par deux et qu'on additionne chaque paire.

Chaque somme (il y en a 10) est donc comprise entre 3 et 39. Il y a 11 nombres premiers entre 3 et 39. Donc le 1er obstacle est levé. Regardons un peu plus loin. Si on additionne toutes ces paires, on additionne les nombres de 1 à 20, cela fait 210.

Mais cela doit faire aussi la somme de 10 nombres premiers parmi les 11 compris entre 3 et 39. Mais la somme des 11 fait seulement 195. Donc la somme de 10 parmi ces 11 ne pourra jamais faire 210. D'où l'impossibilité.

En définitive on a regardé une solution "globale" pour aboutir à une contradiction.

[chan79]

Salut
La solution de l'énoncé, réexpliquée par Pseuda, me paraît très bien.
Si on veut une autre approche:
La somme 3 ne peut s'obtenir que par 1+2
Si 3 fait partie des sommes obtenues, on ne peut alors obtenir la somme 5, car il faudrait utiliser 1 ou 2.
La somme 5 ne peut s'obtenir que par 1+4, 2+3
Si 5 fait partie des sommes obtenues, on ne peut alors obtenir la somme 3, car il faudrait utiliser 1 et 2.
Il faut donc envisager 2 cas.
1°) la somme 3 est obtenue ainsi que les 9 sommes 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37
2°) la somme 5 est obtenue ainsi que les 9 sommes 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37

Premier cas:
3=1+2
7=3+4 pas d'autre choix
11=5+6 pas d'autre choix
13= ... impossible

Second cas:
5=1+4 ou 5=2+3
d'abord avec 5=1+4
5=1+4
7=2+5
11=3+8
13=6+7
17=... impossible

enfin avec 5=2+3
5=2+3
7=1+6
11=4+7
13=5+8
17=... impossible

[zygomatique]

salut

on utilise simplement l'associativité de l'addition et le principe de sommation par paquets (valable pour toute somme finie)

)

où chaque somme est un nombre premier

or ceci implique qu'on additionne 10 nombres premiers compris entre 3 et 39 dont la somme ne fait jamais 210 ...

[JérémyDubois]

merci beaucoup