Problème

[supercalifragi]

Bonsoir pour mon dm j'ai un problème: Soit ABC un triangle rectangle en A. LE côté BC mesure 3cm de plus que le côté AB.
Quelle doit être la valeur maximale de la longueur AB pour qu'elle soit inférieure ou égal à la longueur AC ?

Je sais que :
BC^2 = AB^2 + AC^2

BC=AB+3

(AB+3) ^2= AB^2 +AC^2
AC >= AB

Mais après je sais pas quoi faire si quelqu'un peut m'aider...

[samoufar]

Bonsoir,

Tu as


Développe cette expression et simplifie ce que tu peux simplifier. Ensuite utilise la condition pour remplacer (l'expression devient une inégalité).

[supercalifragi]

Merci de ta réponse alors...
AB^2+6AB+9 = AB^2 + AC^2
6AB + 9 = AC^2
AB= (AC^2-9)/6

qu'est que tu entends dire par remplacer AC ?

[samoufar]

Tu veux que , donc que , donc que ... (on remplace AC par son expression). Là tu as une condition sur AB (une inégalité en l'occurence).

[supercalifragi]

Ah donc AC=√6AB+9
et donc:
AC >= AB
= √6AB+9 >= AB
= 6AB+9 >= AB

Comment faut-il procéder pour enlever le AB de la gauche du égal ?

[samoufar]

Pourquoi des racines ? Tu n'aimes pas les (in)équations du second degré ?

[supercalifragi]

Ah d'accord
- AC^2= 6AB+9

-AC >= AB
(=) AC^2 >= AB^2
(=) 6AB+9>= AB^2
Mais du coup je me retrouve encore avec un AB de trop à gauche non ?

[samoufar]

Tu as donc .

C'est une inéquation du second degré d'inconnue AB, et comme le coefficient devant le terme au carré est positif, tu vois (cf. cours de seconde) que si le polynôme admet deux racines, alors entre ces deux racines. Donc la valeur maximale de AB va être obtenue lorsque l'inégalité ci-dessus est... une égalité.

Pour t'en convaincre (et franchement je te le recommande) fais un dessin de la fonction et regardes quand l'inégalité est vérifiée.

[supercalifragi]

Merci de prendre autant de temps pour me répondre...
Mais je comprend pas pourquoi on dit que c'est inférieur ou égal à 0 car quand on "passe" 6AB+9 à droite du égal ça devrait être égal à zéro pas inférieur... ?
Et quand je calcule les racines : x1= (-b+√1)/2= 3,5 et x2 (-b-√1)/2= 2,5 donc négatif sur (2,5;3,5) mais sur la courbe que j'ai fais sur ma calculette c'est négatif sur (-1,22;7,2)...

[samoufar]

Pourquoi ça devrait être égal à zéro ? Comment tu transformes une inégalité en égalité ?

Revois le calcul du discriminant.

[supercalifragi]

Ce que je comprend pas c'est comment on sait si c'est supérieur ou inférieur ?

AH OUI :O Discrimant: b^2-4AC = 72
x1= 3√2 + 3 = 7,2
x2= -3√2 + 3 = -1,2

Donc pour que AB soit inférieur ou égal à AC il faut que AB fasse au maximum 3√2 + 3 cm ?

[samoufar]

Exact

[supercalifragi]

Trop cool merci beaucoup