Problème

[t.itou29]

Bonsoir,
J'ai résolu un problème mais je me demande s'il n'y a pas une forme plus générale.
Voici l'énoncé:
Soit une fonction définie sur N et ne prenant que des valeurs positives ou nulles.
On sait que:
- f(ab)=f(a)+f(b)
- si l'entier n a 3 comme chiffre des unités alors f(n)=0
- f(10)=0
Déterminer f(2011), f(2012), f(2013), f(2014).
J'ai trouvé (avec quelques difficultés je l'avoue !) f(2011)=f(2012)=f(2012)=f(2014)=0.
Je me demande s'il existe des nombres dont l'image n'est pas calculable. Et si ce n'est pas le cas ça signifierait que pour tout n, f(n)=0. J'ai essayé jusqu'à 21, ça marche (tous les nombres sont calculables et nuls) mais je ne vois pas comment faire le cas général.
ÉDIT: j'ai réussi à le prouver pour tout nombre finissant par 1,3,7,9. Comme un nombre premier finit soit par 1,3,7,9, je l'ai prouvé pour tout premier et comme tout nombre admet une décomposition en facteur premier ça marche pour tout entier ! Est-ce bon ?

[Fred_Sabonnères]

Intéressant ton problème... Comment as tu calculé f(3)?

[t.itou29]

Intéressant ton problème... Comment as tu calculé f(3)?

C'est vrai que c'est assez intéressant. Par définition de on a f(3)=0

[Fred_Sabonnères]

En partant de f(10)= f(2)+f(5)=0 avec f positive ou nulle, on trouve bien
f(2)=0 et f(5)=0
De même f(0)=f(0x0)=f(0) + f(0) donc f(0)=0
De même f(1)=2 f(1) donc f(1)=0

f(2011)=??? 2011 étant premier
f(2012)=f(503x4)=f(503)+2f(2)=0
f(2013)=f(3x671)=f(3)+0=f(3)
f(2014)=f(2)+f(19)+f(53)=f(19)+f(53)

[t.itou29]

Voilà ce que j'ai trouvé pour le cas géréral:
- pour tout n finissant par 3 on a par définition de f: f(n)=0

- pour tout n finissant par 1:
3n finit par 3 donc:
f(3n)=0
f(3)+f(n)=0
D'où f(n)=0

- pour tout n finissant par 7:
9n finit par 3
Donc f(9n)=0
f(9)+f(n)=0
f(n)=0

- pour tout n finissant par 9:
7n finit par 3
Donc on a f(7n)=0
f(7)+f(n)=0
f(n)=0

On a donc prouvé que pour tout n premier f(n)=0. Or tout nombre admet une decomposition en facteurs premier. Pour tout entier n on peut donc écrire f(n) come somme de f(p) avec p premiers donc tous égaux à 0.
Est-ce bon ?

[coote]

Bonsoir,
J'ai résolu un problème mais je me demande s'il n'y a pas une forme plus générale.
Voici l'énoncé:
Soit une fonction définie sur N et ne prenant que des valeurs positives ou nulles.
On sait que:
- f(ab)=f(a)+f(b)
- si l'entier n a 3 chiffres alors f(n)=0
- f(10)=0
Déterminer f(2011), f(2012), f(2013), f(2014).
J'ai trouvé (avec quelques difficultés je l'avoue !) f(2011)=f(2012)=f(2012)=f(2014)=0.
Je me demande s'il existe des nombres dont l'image n'est pas calculable. Et si ce n'est pas le cas ça signifierait que pour tout n, f(n)=0. J'ai essayé jusqu'à 21, ça marche (tous les nombres sont calculables et nuls) mais je ne vois pas comment faire le cas général.
ÉDIT: j'ai réussi à le prouver pour tout nombre finissant par 1,3,7,9. Comme un nombre premier finit soit par 1,3,7,9, je l'ai prouvé pour tout premier et comme tout nombre admet une décomposition en facteur premier ça marche pour tout entier ! Est-ce bon ?

tout entier n < 1000 , f(n)=0

[Ben314]

Si "j'à tout bien compris", il y a une erreur dans l'énoncé :
La deuxième condition
"- si l'entier n a 3 chiffres alors f(n)=0"
semble plutôt être
"- si l'entier n a une écriture décimale se terminant par le chiffre3 alors f(n)=0"
vu ce qu'à écrit t.itou29 dans son 2em post

[coote]

Voilà ce que j'ai trouvé pour le cas géréral:
- pour tout n finissant par 3 on a par définition de f: f(n)=0

- pour tout n finissant par 1:
3n finit par 3 donc:
f(3n)=0
f(3)+f(n)=0
D'où f(n)=0

- pour tout n finissant par 7:
9n finit par 3
Donc f(9n)=0
f(9)+f(n)=0
f(n)=0

- pour tout n finissant par 9:
7n finit par 3
Donc on a f(7n)=0
f(7)+f(n)=0
f(n)=0

On a donc prouvé que pour tout n premier f(n)=0. Or tout nombre admet une decomposition en facteurs premier. Pour tout entier n on peut donc écrire f(n) come somme de f(p) avec p premiers donc tous égaux à 0.
Est-ce bon ?

si de plus pour n>1000 il existe a et b entier tel que n = a . 1000 + b (b<1000) alors on peut prouver que f(n)=0

[t.itou29]

Si "j'à tout bien compris", il y a une erreur dans l'énoncé :
La deuxième condition
"- si l'entier n a 3 chiffres alors f(n)=0"
semble plutôt être
"- si l'entier n a une écriture décimale se terminant par le chiffre3 alors f(n)=0"
vu ce qu'à écrit t.itou29 dans son 2em post

Oui je viens de me rendre compte que j'ai mal recopié l'énoncé ! Je l'ai modifié. Désolé.
Sinon c'est bon ?

[Ben314]

J'ai bien l’impression que oui.

[t.itou29]

J'ai bien l’impression que oui.

Merci ! (pourquoi faut-il 10 caractères pour les messages ?!)

[Fred_Sabonnères]

Comme un nombre premier finit soit par 1,3,7,9, je l'ai prouvé pour tout premier et comme tout nombre admet une décomposition en facteur premier ça marche pour tout entier ! Est-ce bon ?

Attention: 2 et 5 sont premiers. Il faut traiter ces 2 valeurs (on l'a déjà fait plus haut!!!) :lol3:

[t.itou29]

Attention: 2 et 5 sont premiers. Il faut traiter ces 2 valeurs (on l'a déjà fait plus haut!!!) :lol3:

Effectivement faut que les rajoute dans la démo, je les avais oubliées !