Dans la molécule de méthane CH4, les centres des noyaux des 4 atomes d'hydrogène sont les sommets d'un tétraèdre régulier. Le centre du noyau de carbone est à l'intérieur de ce tétraèdre à la même distance L des sommets. ON se propose de calculer L ainsi que la mesure
(alpha) de l'angle formé par deux liaisons C--HI.MATHEMATISATION
ABCD est un tétraèdre régulier de côté a. L'une de ses hauteurs est le segment [AG] où G est le centre de garvité de BCD. I et K sont les milieux de [CD] et [AB]. Dans le plan (AIB), les droites (IK) et (AG) se coupent en O.
a) Exprimer les longueurs IA et IB en fonction de a.
c) Expliquer pourquoi OA = OB. De façon analogue, on montre que O est équidistant de A, B, C, D ; on dit que O est le centre du tétraèdre régulier.
d) Utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle AGI, pour exprimer AG en fonction de a
e) Exprimer cos de l'angle KAO de deux façons diffèrentes et en déduire que AO = ½a racine de 3/2.
f) En déduire l'arrondi au centième de la mesure en degrès de l'angle KAO, puis que l'angle AOB environ = a 109.5°
II. RETOUR A LA MOLECULE DE METHANE
La distance entre deux atomes d'hydrogène est d'environ 1.78 angstroem soit 1.78 x 10^(-10)m. Utiliser les résultats de la question I pour donner L et
(alpha)