Problème Mathématique sur les Probabilités de 1er ES

[max16]

Bonjour, je n'arrive pas à faire un DM qui est a rendre pour le 4 mai, voici le problème :
Tous les matins pour venir au lycée, Tess, au volant de son Aston Martin DBS, doit traverser 8 carrefours avec feux tricolores. A chaque carrefour muni de feux tricolores, Tess sait qu'elle a 4 chances sur 10 de passer au vert sans être obligée de s'arrêter.
On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de feux tricolores traversés sans que Tess soit obligée de s'arrêter.

1) Quelle est la loi de probabilité ce cette situation ? Expliquer
2) Quelle est la probabilité que Tess ait tous les feux sans s'arrêter?
3) Quelle est la probabilité que Tess en ait 4 sans s'arrêter ?
4) Quelle est la probabilité que Tess ait au moins 5 feux au rouge ?
5) Quelle est la probabilité que Tess ait plus de 3 feux au rouge?
6) Quelle est la probabilité que Tess ait au moins 5 feux sans s'arrêter?
7) Quelle est la probabılıté que Tess ait pius de 6 feux sans s' arreter ?
8) Quelle est la probabilité que Tess ait au plus 3 feux sans s'arrêter ?
9) Quelle est la probabilité que Tess ait moins de 2 feux sans s'arrêter ?
10) En moyenne chaque jour combien aura-t-elle de feux au rouge ?

J'espère que quelqu'un pourra m'aider.

[Tuvasbien]

A chaque carrefour, tu as 2 possibilités : Tess passe sans s'arrêter et Tess s'arrête aux feux, il s'agit d'une loi binomiale telle que .

[max16]

ok mais comment je calcule la probabilité de chaque question ?

[Tuvasbien]

Il faut que tu exprimes tous les événements mathématiquement, par exemple pour la 2), Tess passe tous les feux sans s'arrêter revient à autrement dit la probabilité recherchée est . Pour la 3), la probabilité recherchée est etc...

[max16]

ok donc ensuite je poursuis le calcule avec la formule que tu m'a donné mais pour les "ait au moins"; "ait plus" es-ce que ca change quelque chose ? par exemple pour la question 5 j'ai juste a écrire P(X=3) ?

[Tuvasbien]

correspond à la probabilité que Tess passe exactement 3 feux sans s'arrêter ce qui n'est pas demandé. Tess a plus de 3 feux au rouges revient à dire que Tess a moins de 5 feux au vert i.e que Tess peut passer au plus 5 feux sans s'arrêter, cette probabilité vaut .

[max16]

D'accord mais ca ce n'est pas la réponse, il faut par la suite faire le calcule avec la formule pour chaque P(X=k) c'est bien ca ?

[Tuvasbien]

Bien sûr il faut faire l'application numérique

[max16]

ok donc j'ai réussi a calculer tout les P(X=k), j'ai juste une problème je l'ai est tous calculer sauf un : P(X=8) impossible d'obtenir un nombre telle que 0,... non ca me donne 6,5536E-4
Comment je fait pour celui-la ?

[max16]

j'ai un autre problème je n'arrive pas a refaire comme tu a fait avec la question 5 pour les autres question, je ne comprend pas le sens des phrases qui permette d'arrivé au même résultat que toi.
Pourrais m'aider sur ca aussi ?

[max16]

Bon finalement je pense avoir réussi tout ceux qui ne contient pas P(X=8) c'est à dire :
3) P(X=4)
4) P(X=3) +P(X=2) + P(X=1) + P(X=0)
5) P(X=5) + P(X=4) + P(X=3) + P(X=2) + P(X=1) + P(X=0)
8) P(X=3) +P(X=2) + P(X=1) + P(X=0)
9) P(X=1) + P(X=0)
Voila, Es-que ce serais possible que tu puisse vérifier si c'est juste ?
Et me montrer comment je fait pour résoudre P(X=8) afin de terminer les questions restantes ?
Merci beaucoup pour ton aide.

[Tuvasbien]

De ce que tu as fait, la 3) et la 8) sont justes, dis-toi que le nombre de feux passés sans s'arrêter est et le nombre de feux passés en s'arrêtant est . Quand dans la 4) on considère l'événement "Tess a au moins 5 feux au rouge" celui-ci se réécrit ou encore donc sa probabilité est . Concernant le calcul de , pourquoi est-ce que tu t'attends à ce que cette probabilité soit nulle ? il n'est pas impossible que Tess passe tous les feux sans s'arrêter, on a bien .

[hdci]

Bonjour,

Quand la calculatrice écrit un nombre tel que 1,234E-4, cela signifie que le nombre est 1,234 multiplié par 10 exposant -4

Si tu veux écrire ce nombre "traditionnellement", du vas décaler la virgule de 8 positions vers la gauche et cela fait 0,0001234.

Inversement, si c'était 1,2345E+4, on multiplierait cette fois ci par 10 exposant 4 (donc on décalerait la virgule de 8 positions à droite)

Cette notation dite "scientifique" est pratique car elle évite d'écrire des tas de zéros qu'il faut ensuite "compter" pour comprendre quel est le nombre. Par exemple, le nombre de molécule d'eau dans 18 grammes d'eau (1,8 centilitre), c'est ce que la calculatrice écrira comme 6,02E24.
Si on devais écrire ce nombre "en touts chiffres", cela ferait 6020000000000000000000000 ce qui est particulièrement illisible.

Voici un petit référentiel :
= un dixième, = un millième, = un millionième, = un milliardième, et pour chaque 3 soustrait, on divise par 1000


= dix, = mille, = un million, = un milliard et pour chaque 3 ajouté on multiplie par 1000

[max16]

et comment on calcule P(X< 3) ?

[Tuvasbien]

et bien s'agissant d'entiers,

[max16]

Ok merci j'ai réussi a faire excepter la question 10, comment fait-on la moyenne ?

[Tuvasbien]

La variable aléatoire donnant le nombre de feux rouges est donc sa moyenne est d'après la formule de transfert.

[hdci]

Pas sur qu'en 1ère ES on parle de "formule de transfert" !

Par contre, en 1ère ES, on voit sans la démontrer quelle est la valeur de E(X) si X est une variable aléatoire de loi binomiale : il suffit d'aller la retrouver dans son cours si par hasard on ne l'a pas apprise par coeur (surtout que sa valeur est tellement intuitive qu'on n'a pas besoin de l'apprendre).