Problème d'analyse combinatoire

[Manny06]

Bonjour,

Voici un exercice que je n'arrive pas à résoudre peut-être que vous allez savoir m'aider.

A l'entrée d'un immeuble, on dispose d'un clavier de 12 touches; 3 lettres a,b,c et les neufs chiffres autres que 0. Le code d'ouverture de la porte est composé d'une lettre suivie d'un nombre de 4 chiffres.

Combien existe-t-il de codes pour lesquels les chiffres soient différents et rangés par ordre croissant?

Voilà, j'espère que vous allez savoir le résoudre.

Merci.

Bien à vous.

et toi qu'en penses-tu ?
donne un exemple de code

[Peacekeeper]

Bonjour Stéphanie,

J'espère que c'est toi qui va savoir le résoudre. ;)

Tu peux procéder (du moins au début) avec un arbre des possibilités pour comprendre comment ça fonctionne.
Le code commence obligatoirement par une lettre et tu disposes de 3 lettres. De plus, il y a autant de combinaisons de chiffres possibles après chacune des lettres, tu es d'accord?
Il te suffit donc de trouver le nombre de combinaisons de 4 chiffres rangés par ordre croissants et tous différents, et en multipliant ce nombre par 3 tu obtiendras le nombre de codes total, tu comprends?

Alors as-tu une idée pour déterminer le nombre de combinaisons de 4 chiffres possibles?

[Luc]

Bonjour stéphanie19,

Choisir un code d'ouverture à quatre chiffres, c'est choisir pour chaque place {1,2,3,4} une image parmi {1,...,9}. C'est donc choisir une fonction de {1,2,3,4} vers {1,...,9}.
On cherche donc le nombre de fonctions strictement croissantes de {1,2,3,4} vers {1,...,9}.
Ce nombre est aussi égal au nombres de parties de {1,...,9} à quatre éléments, soit
Bon courage,
Luc

[Peacekeeper]

Bonjour,

Merci d'avoir répondu si vite,

En effet, j'ai procédé suivant un arbre, et j'ai trouvé la bonne réponse qui est de 3 * 126 = 378 (enfin , je pense :p ).

Mais mon problème c'est que je n'arrive pas à modéliser ça sous forme de formules... je sais bien que j'aurai 6. ( ..... ) + 5.(....) +.... +1. (.... ) . Mais je n'arrive pas à trouver ce qu'il faut mettre dans les parenthèses... Enfin, j'espère que vous m'avez comprise, parce que moi-même, j'ai du mal à comprendre ce que j'ai écrit.

Merci quand même pour votre réponse...

Dans ce cas, tu peux essayer d'intuiter une formule générale à partir d'exemples (en ne considérant qu'une lettre et 3 chiffres possibles par exemple) puis la démontrer par récurrence.
Ici tu ne peux malheureusement pas utiliser la formule des k parmi n car l'information d'ordre croissant n'y est pas contenue.

[Manny06]

Dans ce cas, tu peux essayer d'intuiter une formule générale à partir d'exemples (en ne considérant qu'une lettre et 3 chiffres possibles par exemple) puis la démontrer par récurrence.
Ici tu ne peux malheureusement pas utiliser la formule des k parmi n car l'information d'ordre croissant n'y est pas contenue.

pour les code de 4 chiffres distincts
tu choisis d'abord 4 chiffres parmi 9
ensuite il existe une seulefaçon de les classer par ordre croissant
par ex si tu as tiré {5,1,8,2} l'ensemble ordonné est (1,2,5,8)
donc il existe autant de tirages dans l'ordre croissant que d'ensembles de 4 chiffres parmi 9

[Peacekeeper]

pour les code de 4 chiffres distincts
tu choisis d'abord 4 chiffres parmi 9
ensuite il existe une seule façon de les classer par ordre croissant
par ex si tu as tiré {5,1,8,2} l'ensemble ordonné est (1,2,5,8)
donc il existe autant de tirages dans l'ordre croissant que d'ensembles de 4 chiffres parmi 9

Au temps pour moi, merci Manny, c'est vrai que comme ils ne sont pas répétés ça revient au même.
Donc Stéphanie, j'ai dit une bêtise, en fait tu peux utiliser la formule qui te donne le nombre de combinaisons de k chiffres distincts pris parmi n pour trouver le nombre de combinaisons de chiffres. Après, il te reste à tenir compte des 3 lettres possibles et le tour est joué.

[hammana]

Bonjour

j'appelle N(i) le nombre de combinaisons commençant par le chiffre i (je fais abstraction de la lettre), C(m,n) le nombre de combinaisons de m objets n à n, il est facile de démontrer la formule
N(i)=N(i+1)+C(8-i,2) (Toutes les combinaisons de N(i+1) conviennent pour N(i) en remplaçant le 1er chiffre i+1 par i, auxquelles s'ajoutent les combinaisons dont les 2 premeirs chiffres sont i et i+1)
N(6)=1
N(5)=N(6)+C(3,2)=4
N(4)=N(5)+C(4,2)=10
N(3)=N(4)+C(5,2)=20
N(2)=N(3)+C(6,2)=35
N(1)=N(2)+C(è,2)=56