Probabilités de gagner au loto TES

[stephane61]

Bonjour,

J'ai un DM à faire et je bloque sur une question du qcm et sur l'exercice 5.

QCM

Une seule réponse correcte. Aucune justification demandée.

1) on appelle X la variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres n=5 et p=0.62
L'espérance de X est :

a) 3.1 b) 5 c) 2.356 d)6.515

Ma réponse : a=>3.1

2) On donne la représentation graphique d'une fonction f ainsi que sa tangente au point A. On note f' sa fonction dérivée. Alors f '(-2) est égale à :

a) 0 ; b) -2 ; c) 0.5 ; d) 1

http://imagesia.com/maths-001_12cr2

Ma réponse : c) 0.5

3) On admet que la proportion des personnes ayant les yeux bleus ou verts en France est de 25%. On choisit 20 personnes au hasard dans la population française. Parmi les 20 personnes choisies au hasard la probabilité qu'au plus 8 personnes aient les yeux bleus ou verts est de :

a) 0.225 ; b)0.133 ; c)0.134 ; d)0.279

Tous les calculs que j'ai fait ne donne aucun de ces résultats!!! Avec la calculatrice j'ai rentré les paramètres B(20;0.25) et je ne trouve pas non plus. Vous pouvez m'expliquer svp ?


EXERCICE 5

Avez-vous plus de chances de gagner les 6 bons numéros au loto ou de lancer un dé à 6 faces et d'obtenir 6 à chaque lancé ?

Avec le dé on a d'après moi 1/6 à chaque lancé d'obtenir un 6 et au loto je crois qu'il y a 49 numéros donc 6/49 à chaque tirage non? Et le numéro complémentaire ?
Si je mets au même dénominateur cela fait :
1/6=49/294 et 6/49=36/294 donc 49/294>36/294 il y a donc plus de chances de gagner au lancer de dé qu'au loto. Je ne pense pas que ma réponse soit bonne...

Merci d'avance pour votre aide

[JP31]

Bonjour Stéphane,

Le loto aujourd'hui est un tirage de 5 boules parmi 49 (n°1 à 49), auquel on rajoute un tirage de une boule parmi 10 (n°1 à 10).
Pour obtenir la probabilité d'avoir les 6 bons numéros, il te faut calculer la probabilité de deux événements disjoints (qui n'ont pas de rapport entre eux):
- Celle de trouver 5 bons numéros parmi 49, et pour trouver la réponse il faut utiliser les combinaisons (du type Cnp ou n=49 et p=5). Connais_tu la formule Cnp? Il s'agit d'un tirage de p objets (ça peut être des boules numérotées p=5) parmi n (n=49 boules)
-Celle de trouver le numéro tiré parmi les 10. Cette probabilité se calcule de la même façon que pour un lancé de dé.
Ensuite la probabilité de trouver les 6 bons numéros est la multiplication des 2 probabilités (car les deux tirages sont indépendants)

Pour le calcul de la probabilité de tirer un 6 à chaque lancé (je suppose qu'on effectue 6 lancés) et bien elle est simple si tu considères que chacun des 6 lancés sont tous indépendants (=événements disjoints), il te suffit donc de connaitre la probabilité d'un seul lancé pour en déduire par multiplication (laquelle à toi de le déduire?) la probabilité pour 6 lancés de dés.

Ensuite il ne te reste plus qu'à comparer les 2 résultats obtenus (loto et dés).
je n'ai pas fait le calcul mais je suis sùr que tu as plus de probabilité de faire un 6 pour 6 lancés de dés que de gagner au loto.

A+

JP

[stephane61]

Rerebonsoir et rerermerci !!

=>pour les 5 numéros je connais la formule avec la calculatrice avec cnr.
5 parmi 49 = 1 906 884

=> pour les 10 numéros : la probabilité est de 1/10

=> pour les 6 numéros : 1906884*(1/10)=953442/5=190688,4

La probabilité d'avoir les 6 numéros est de 190688,4

=> pour un lancé de dé p(6)=1/6 donc pour 6 lancés (1/6)^6=1/46656=2.143347051*10^-5

J'ai du mal à interpréter mes résultats. Si c'est bon je dois laisser le résultat sous forme de fraction pour les lancés de dé ? Comme le chiffre est plus grand pour le loto cela veut bien dire qu'il y a plus de chance de gagner au lancé de dé ?

Pour la 3 du qcm vous savez ?

Il peut y avoir ce type de question au bac ? car perso si je n'avais pas été voir sur internet je ne savais pas comment fonctionnait le loto ! A demain j'espère. Je vais reposer mon cerveau qui chauffe dur à chaque dm!!!

[JP31]

Stephane,

Pour le Lotto, ta réponse est presque correcte, je m'explique.
Pour les 5 numéros, le nombre de tirages de 5 numéros parmi 49 boules est bien C49,5=1906884. Par contre comme tu n'as qu'un seul tirage alors tu n'as qu'une seule chance de gagner parmi les 1906884 choix possibles donc ta probabilité est p=1/1906884. A cette probabilité, il faut également tenir compte de celle qui consiste à trouver la dernière boule parmi les 10. Et là encore, tu as raison cette probabilité est bien 1/10.
Finalement, la probabilité de gagner au loto est P=P("trouver les 5 numéros"inter"trouver le numéro entre 1 et 10") comme les 2 événements sont indépendants car les roulettes sont différentes alors P(("trouver les 5 numéros")inter("trouver le numéro entre 1 et 10"))=P("trouver les 5 numéros")xP("trouver le numéro entre 1 et 10")=1/10x1/1906884=1/19068840
Soit une chance sur 19068840 (1 chance sur 19 millions environ)

Pour le calcul de la probabilité de lancé de dés, tu as juste puisque :
P=(1/6)^6 qui est la probabilité calculée avec la loi binomiale B(6,1/6) dans ce cas
P=p(X=6)=C6,6x(1/6)^6x(1-1/6)^0=(1/6)^6=1/46656

En conclusion finale 19068840 > 46656 tu as donc beaucoup plus de chance faire un 6 6 fois de suite avec un dé que de gagner au loto.

Pour répondre à ta question, il vaut mieux laisser le résultat sous la forme d'une fraction (sauf si on te demande le résultat de ta proba à 10^-X prés) ce qui te permettra d'avoir le nombre de chance pour la réalisation de l’événement cherché et donc de faire des comparaisons comme ci-dessus.
D'autre part, attention à bien vérifier ton résultat concernant une probabilité qui doit TOUJOURS être un nombre compris entre 0 et 1, ce qui te permettra également de vérifier ton résultat.

Pour le QCM, on est bien dans le cas d'une loi binomiale et le calcul est :
P(X<=8)=C20,0(1-0,25)^20+C20,1(0,25)x(1-0,25)^19+C20,2(0,25)^2x(1-0,25)^18+C20,3(0,25)^3x(1-0,25)^17+C20,4(0,25)^4x(1-0,25)^16+C20,5(0,25)^5x(1-0,25)^15+C20,6(0,25)^6x(1-0,25)^14+C20,7(0,25)^7x(1-0,25)^13+C20,8(0,25)^8x(1-0,25)^12=0,959

Effectivement, la réponse n'est présente à moins que le raisonnement ne soit pas bon mais j'en doute car on est dans la cas d'une variable aléatoire discrète et non continue (cas de la loi normale)

Pour ta question concernant le bac, je pense que tu peux effectivement avoir ce type de question concernant un jeu comme le loto. Mais dans ce cas l'énoncé sera plus précis et décrira correctement le jeu de façon à ce qu'il n'y ait aucune ambiguïté.

En ce qui me concerne, je ne suis pas professeur de math, néanmoins j'ai un bagage qui me permet de t'aider pour la théorie mathématique puisque je suis diplômé de 2 écoles d'ingénieur Supaéro et récemment de l'ENM (actuellement ingénieur de Météo-France). Néanmoins, je ne suis pas infaillible et si jamais tu te rends compte après correction avec ton professeur de math que je t'ai dis des bêtises surtout n'hésite pas à me le dire, à tout age on commet des erreur ;) et on peut toujours progresser.

Pour info, je part en weekend et ne revient que dimanche en soirée. Si jamais tu as d'autres questions avant lundi, j'essayerai d'y répondre dimanche soir.

Bonne fin de vacances

JP

[stephane61]

Pour cet exercice j'ai tout compris et là c'est plus logique ! Pour le QCM je pense aussi qu'il n'y a pas la bonne réponse. Cela m'impressionne toujours ceux qui sont bons en maths comme vous : pour moi les maths me demandent beaucoup de travail et j'appréhende l'examen au bac !
Je vous remercie beaucoup pour votre aide, votre patience et votre gentillesse. Bon weekend alors et peut-être à dimanche soir si vous avez le temps pour l'explication que je vous ai demandé dans l'autre exercice. Sinon pas grave vous m'avez déjà beaucoup aidé.

[JP31]

Vraiment aucun problème pour les explications et merci beaucoup pour ton message.
J'ai découvert ce site depuis peu et comme je souhaitais continuer a donner des cours de math bénévolement tout en travaillant, j'ai trouvé ce site vraiment bien fait.
Je te souhaite bon courage pour la suite et surtout il ne faut jamais te décourager et toujours essayer d'approfondir les notions que tu n'as comprises; exactement comme tu le fais. Si tu travailles régulièrement il n'y aura aucun PB; d'ailleurs tu te débrouilles vraiment très bien et comprends les notions rapidement.

Si tu as d'autres questions, surtout n'hésites pas j'essayerai de te répondre sur mon temps libre (en général le soir en semaine).

A+

JP31

[stephane61]

Bonsoir C'est gentil merci beaucoup. Le plus dur pour moi c'est quand plusieurs leçons sont mélangées (comme à l'examen) : là c'est compliqué pour moi... Mon DM est rendu ! Sans doute à bientôt alors :)