Probabilité : Pièce de monnaie, trois coups pour gagner

[unknownx03]

Bonjour,

Je suis en train de faire l'exercice de maths suivant sur les probabilités :

"On lance une pièce de monnaie et on s'arrête dès qu'on a obtenu trois fois le même côté. Combien y'a-t-il d'issues possibles ?"
(Il est également précisé que l'on doit construire un arbre représentant la situation)

Autrement dit, lorsque je jette ma pièce et qu'à chaque coup j'obtiens le même côté (au moins trois fois) j'ai gagné.
Les combinaisons gagnantes évidentes sont donc :

Pile-Pile-Pile (3 coups en tout, et 3 coups successifs)
Face-Face-Face (idem)

On pourrait également compter ce genre de suite :

Pile-Face-Pile-Pile-Pile (5 coups en tout, mais j'ai bien 3 coups successifs)

Pile-Face-Face-Face (4 coups en tout, mais j'ai bien 3 coups successifs)

Cependant, en faisant mon arbre je me suis rendu compte qu'il était impossible de répondre à la question de départ.
En effet, si je lance ma pièce et que je tombe sur pile, puis que je relance et que je tombe sur face, et ainsi de suite, j'obtiens alors une suite de coup de type : Pile-Face-Pile-Face-Pile-Face-Pile-Face-... jusqu'à l'infini.
Comment est-il alors possible de définir un nombre d'issues si je peux tomber dans cette boucle ?

Pour le moment, je ne sais pas si j'ai mal compris la méthode pour résoudre l'exercice, ou bien si l'exercice lui-même ne peut pas avoir un nombre d'issues défini. En regardant le corrigé, il est indiqué qu'il existe 20 issues possibles.
Je ne m'y retrouve plus et justement, j'aimerais connaître vos avis, est-ce que je me trompe dès le départ ou bien l'exercice ne peut pas être résolu?

Merci de m'avoir lu et j'attends avec impatience vos avis

[Sake]

Salut,

Il y a plusieurs façons d'aborder ton problème. Celle que traite ton exo est une approche schématique.

En fait, il s'agit de la juxtaposition de deux événements : "obtenir trois fois le même côté en partant de pile" et "obtenir trois fois le même côté en partant de face".

Il te suffit de dessiner deux arbres en partant de P (et F) et de faire proliférer les ramifications jusqu'à ce que tu obtiennes soit trois piles ou trois faces. Le nombre d'issues est le nombre de "branches terminales" que tu obtiens, sachant que ce nombre est égal pour chaque arbre parce que la situation est invariante que tu partes de face ou de pile. Il te suffit donc au final de ne dessiner qu'un seul des deux arbres.

Une façon élégante de résoudre ce problème aurait été de le faire par l'approche combinatoire : Compter le nombre d'issues, c'est compter la manière dont on peut obtenir trois P dans un quintuplet contenant des F et des P (il faut au moins cinq tirages dans un choix binaire pour faire sortir trois fois au moins le même événement) quel que soit leur ordre d'apparition, et idem pour F. est le nombre d'issues au total.

[Ben314]

Salut,
Il me semble que j'aurais pas dit la même chose que sake concernant le nombre "d'issues" possibles.
Pour moi, les "issus", c'est les "résultats" (différents) possibles, sauf que... l'énoncé ne précise justement pas ce qu'on va entendre par "résultat" d'où... ambiguïté...
Tout ça pour dire que perso., j'aurais éventuellement conjecturé que le "résultat" d'une expérience, c'était juste le nombre de lancers qui ont été nécessaires pour obtenir "trois fois le même côté".

Un autre truc qui me semble un peu ambigüe, ça concerne justement la signification du "trois fois le même côté".
Il semblerais que unknownx03 soit parti pour l'interpréter sous la forme "trois fois de suite le même côté" ce qui fait qu'on risque d'attendre super longtemps pour que ça marche (et ça me semble un peu compliqué pour un exercice de Lycée).
Tu est sûr que le "trois fois le même côté", il est pas à comprendre sous la forme "avoir au total trois fois le même côté" ? (auquel cas, on est sûr que ça va marcher en au plus 5 lancers)
Il me semble que c'est aussi comme ça que sake l'interprète et ça semble bien plus raisonnable au niveau Lycée.

[Sake]

Salut,
Il me semble que j'aurais pas dit la même chose que sake concernant le nombre "d'issues" possibles.
Pour moi, les "issus", c'est les "résultats" (différents) possibles, sauf que... l'énoncé ne précise justement pas ce qu'on va entendre par "résultat" d'où... ambiguïté...
Tout ça pour dire que perso., j'aurais éventuellement conjecturé que le "résultat" d'une expérience, c'était juste le nombre de lancers qui ont été nécessaires pour obtenir "trois fois le même côté".

C'est ce que je pensais aussi au début. S'il s'agit de déterminer le nombre maximal de lancers jusqu'à ce qu'on obtienne trois fois le même côté (au total), la réponse est invariablement 5.
S'il s'agit de déterminer le nombre de fois qu'il faille lancer une pièce pour obtenir trois fois le même côté d'affilée, c'est une approche probabiliste et comme tu l'as dit, c'est pas vraiment du niveau lycée.

[Ben314]

A mon avis, c'est bien des probas (c.f. le titre du post.) et les question suivantes (une fois l'arbre fait), ça serait sans doute de déterminer les proba respectives qu'il faille 3, 4 ou 5 lancers pour obtenir 3 fois le même coté.

(ou alors c'est autre chose...)

[maxnihilist]

Bonjour,

Ce n'est pas du tout le but ici mais je me permets de prolonger l'énoncé comme ceci: Combien de lancers peut-on espérer faire pour obtenir 3 face d'affilés ?

On note e ce nombre.
Si on obtient du premier coup :
FFF, on a e = 3
FFP, là on se retrouve à la case départ, le nombre espéré de lancers est e+3 (déjà 3 lancers de fait).
FP, on se retrouve à la case départ, le nombre espéré de lancers est e+2.
P, on se retrouve à la case départ, le nombre espéré de lancers est e+1

Et il n'y a plus qu'à résoudre: e = (1/2)^3 * 3 + (1/2)^3 * (e+3) + (1/2)^2 * (e+2) + 1/2 * (e+1). Sauf erreur de raisonnement, j'ai e=14

On peut suivre le même principe pour 3 fois piles, 3 fois la même face je suppose