Probabilité Variable aléatoire (urgent)

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AinaJ
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Probabilité Variable aléatoire (urgent)

par AinaJ » 05 Mai 2021, 15:18

Bonjour, j'ai besoin d'aide pour l'exercice suivant :
Lors de d'un jeu télévisé, les spectateurs peuvent jouer par sms. Il y a n cases (n supérieur ou égale a 4) numérotées de 1 a n.
Une case contient 10 euros, trois contiennent 5 euros et les autres 0 euro.
Le joueur envoie par sms le numéro d'une case et il gagne la somme correspondante.
On note X la variable qui compte le gain algébrique du joueur,.
On suppose que le coût du sms est de 1 euro.
a- Déterminez la loi de probabilité de la variable X.
b- Déterminez le gain moyen du joueur.
c- En déduire le nombre de case de valeur 0 euro a mettre pour que le jeu soit équitable (c'est-a-dire E(X)=0).
Pour ma part, j'en déduis que X est le gain déduit du coût de l'sms: si on envoie case 1 on gagne (-1+10=)9 euros, si on envoie cases 2, 3 et 4 on gagne (-1+5=) 4 euros et si on envoie case n on gagne (-1+0=)-1 euro. donc X peut prendre les valeurs {-1;4;9}. Ces valeurs correspondent a la première ligne du tableau de loi de la probabilité de X. Je sais que la somme des probabilités est égale a 1. Comment puis-je compléter la deuxième ligne si je ne connais la limite de n?



catamat
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Re: Probabilité Variable aléatoire (urgent)

par catamat » 05 Mai 2021, 17:38

Bonjour

C'est un cas d'équiprobabilité donc (nombre d'issues favorables)/(nombre d'issues possibles)

Pour gagner 4 euros il y a 3 issues favorables et n issues possibles donc p(X=4)=3/n ce n'est pas plus compliqué que cela... ainsi de suite

AinaJ
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Re: Probabilité Variable aléatoire (urgent)

par AinaJ » 05 Mai 2021, 19:15

Merci pour votre aide. Donc, si j'ai bien compris : le nombre d'issues possibles correspond a n, ce qui fait que, en tenant compte de l'équiprobabilité, p(X=-1)=1/n, p(X=4)=3/n et p(X=9)=1/n. Comment être sur que la somme des probabilités vale 1? Et le gain moyen du joueur est E(X)= 1/n*(-1)+3/n*4+1/n*9. Est-ce bien cela ?

hdci
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Re: Probabilité Variable aléatoire (urgent)

par hdci » 05 Mai 2021, 19:29

Bonjour,
AinaJ a écrit: p(X=-1)=1/n, p(X=4)=3/n et p(X=9)=1/n

Deux résultats sont corrects, l'un est incorrect.
AinaJ a écrit: Comment être sur que la somme des probabilités vale 1?

La somme doit toujours faire 1. Et ici, votre somme est

Ce qui n'est pas égal à 1 (sauf si n=5 mais ce n'est qu'un cas particulier) et doit vous alerter sur le fait qu'il y a bien une erreur dans la loi de probabilité.
AinaJ a écrit:Et le gain moyen du joueur est E(X)= 1/n*(-1)+3/n*4+1/n*9.

La formule appliquée est correcte et le résultat deviendra correct quand la loi de probabilité sera corrigée. mais il ne faut pas la laisser telle quelle car on peut simplifier le résultat.

Question : combien y a-t-il de cases perdantes ?
Il n'y a que 10 types de personne au monde : ceux qui comprennent le binaire et ceux qui ne le comprennent pas.

catamat
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Re: Probabilité Variable aléatoire (urgent)

par catamat » 05 Mai 2021, 19:51

En effet quand tu écris

AinaJ a écrit:p(X=-1)=1/n


cela signifie qu'il y a une seule case perdante parmi les n cases et cela ne correspond pas à la réalité.

AinaJ
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Re: Probabilité Variable aléatoire (urgent)

par AinaJ » 05 Mai 2021, 19:54

Si je réponds a la question : il y a n-4 cases perdantes. C'est bien ça ?

AinaJ
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Re: Probabilité Variable aléatoire (urgent)

par AinaJ » 05 Mai 2021, 20:06

Ou plutôt p(X=-1)=1-(p(x=4)+p(X=9) ce qui équivaut a 1-(3/n+1/n) = 1-4/n. p(X=-1)=1-4/n. C'est cela ?

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Re: Probabilité Variable aléatoire (urgent)

par catamat » 05 Mai 2021, 22:46

Oui c'est exactement cela.

AinaJ
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Re: Probabilité Variable aléatoire (urgent)

par AinaJ » 06 Mai 2021, 10:52

Bonjour, d'accord, merci pour votre aide. Donc, si je résume p(X=-1)=1-4/n, p(X=4)=3/n et p(X=9)=1/n. Le gain moyen du joueur est E(X)= (1-4/n)*(-1)+3/n*4+1/n*9. Est-ce correct ?

catamat
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Re: Probabilité Variable aléatoire (urgent)

par catamat » 06 Mai 2021, 11:15

Oui

écrit en latex :

hdci
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Re: Probabilité Variable aléatoire (urgent)

par hdci » 06 Mai 2021, 11:20

... Et à simplifier en mettant tout au même dénominateur (ce qui permet de répondre très facilement à la dernière question)
Il n'y a que 10 types de personne au monde : ceux qui comprennent le binaire et ceux qui ne le comprennent pas.

AinaJ
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Re: Probabilité Variable aléatoire (urgent)

par AinaJ » 06 Mai 2021, 12:57

Donc ce qui fait . Je trouve soit . J'ai mis le tout au même dénominateur mais je trouve quelque chose ne va pas dans mes opérations. Ou me suis-je tromper ? Je vois que pour répondre a la dernière question de l'exercice je dois aboutir a une résolution d’équation, c'est bien cela ?

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Re: Probabilité Variable aléatoire (urgent)

par catamat » 06 Mai 2021, 13:13

Oui c'est juste
Tu dois résoudre E(X)=0 d'inconnue n.

Rappel : Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul

AinaJ
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Re: Probabilité Variable aléatoire (urgent)

par AinaJ » 06 Mai 2021, 15:27

Donc, ce qui fait . Pour répondre a la question c), je fais , pourtant la propriété dit :"un quotient est nul si le numérateur est nul". Je trouve que le numérateur est différent de 0 et n est égal a un ensemble vide. Comment ça se fait ?

catamat
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Re: Probabilité Variable aléatoire (urgent)

par catamat » 06 Mai 2021, 15:58

Pour quelle valeur de n a-t-on : -n + 25 = 0 ?

C'est quand même pas compliqué, non ?

AinaJ
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Re: Probabilité Variable aléatoire (urgent)

par AinaJ » 06 Mai 2021, 16:47

Ah oui, c'est vrai, je suis désolée j'ai mal compris la propriété. On a -n+25=0 pour n=25, ce qui fait E(X)=21/25*(-1)+3/25*4+1/25*9=0. Le jeu est bien équitable pour 25 cases de 0 euro. Merci de votre aide et de votre patience.

catamat
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Re: Probabilité Variable aléatoire (urgent)

par catamat » 06 Mai 2021, 18:06

Oui mais attention à la conclusion, n est le nombre total de cases, pas celui des cases perdantes.

 

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