Probabilité de sortie d'un mot au scrabble

[Muetdhiver]

Bonjour, je poste ici (dans Lycée) mais ce n'est absolument pas un exercice de lycée, seulement vu le niveau de ma question, je n'ai pas trouvé où la mettre ailleurs (certainement pas en niveau sup !!!)
C'est une une question de probabilité qui n'a rien à voir avec un éventuel programme scolaire !
En fait je joue au scrabble et j'ai une question toute simple:
Si l'on place le mot "DUITE" au premier coup en H4, il reste 3 cases devant pour atteindre le mot compte triple par une rallonge. Sachant que DUITE admet 3 rallonges que je vais énumérer si dessous, quelle est la probabilité pour qu'au moins l'une d'entre elle sorte.

Je m'explique, si l'on joue DUITE, les rallonges potentielles pour atteindre le triple sont :
CON
PRO
TRA

J'ai deja fait le calcul suivant, pour trouver la probabilité de sortie de CON-DUITE par exemple:
Un sac de scrabble contient 102 lettres, et pour cette proba on va oublier les jokers pour simplifier les choses:
DUITE = 5 lettres donc il reste 97 lettres dans le sac.

Dites moi si je me trompe:

Proba de sortie de CON => Proba(C) + Proba(O) + Proba(N)
Proba(C) = 2/97 (il y a 2 C dans le jeu)
Proba(O) = 6/96 (il y a 6 O, et on enlève le C qu'on vient de tirer ????? ==> ma question n°1) !!
Proba(N) = 6/95 (idem ??)

Proba(CON) => 14.6%

Donc, de même:

Proba(PRO) => 2/97 + 6/96 + 6/95 = 14.6%
Proba(TRA) => 5/97 + 6/96 + 9/95 = 20.9%

Deja, est-ce que j'ai bon ?

Et ensuite, comment faire pour calculer la probabilité de sortie d'AU MOINS un de ces tirages, c'est à dire que durant toutes la partie on puisse choper au moins en même temps un C-O-N, un T-R-A ou un P-R-O ?

Merci pour l'aide.

[Muetdhiver]

Personne ?????

SVP ??????

[Ben314]

Salut,
Le probabilité finale que tu cherche à obtenir est assez longue à calculer...
De plus, ton "début de calcul" ne marche pas :
En proba, on passe son temps à faire des additions et des multiplications.

On AJOUTE deux proba lorsque l'on veut avoir la proba d'avoir l'événement A ou bien l'évènement B et que l'on sait qu'il est impossible d'avoir simultanément les deux (s'il était possible d'avoir les deux, il faudrait retrancher la proba d'avoir les deux en même temps, vu qu'elle serait déja comptée deux fois dans p(A)+p(B))
par exemple, si je tire une seule lettre d'un sac, on a :
proba(tirer un X ou un Z) = proba(tirer un X) + proba(tirer un Z)
puisque, comme je ne tire qu'une seule lettre, il est impossible de tirer un X et un Z !!!

On MULTIPLIE deux proba lorsque l'on veut avoir la proba d'avoir l'événement A et l'évènement B et que l'on sait que les évènements A et B sont indépendants (c'est à dire que le fait d'avoir ou pas l'événement A n'influe pas sur le fait d'avoir ou pas B)
par exemple, si je tire une lettre du sac et une autre lettre dans un autre sac :
proba(tirer un X du sac 1 et un Z du sac 2) = proba(tirer un X du sac 1) x proba(tirer un Z du sac 2)

Si on tire deux lettres du même sac et que l'on veut la proba d'avoir tiré un X et un Z, on est forcé d'écrire :
proba(tirer un X et un Z) = proba(tirer un X puis un Z) + proba(tirer un Z puis un X) [les deux cas sont bien disjoints]
Ensuite, pour calculer par exemple proba(tirer un X puis un Z), ce n'est pas le produit car le premier tirage influe sur le deuxième : si la première lettre tirée est déjà un Z, la proba que la deuxième soit aussi un Z est plus faible que si la première n'est pas un Z.
En fait, ce que l'on écrit (et qui est toujours vrai) est :
proba(tirer un X puis un Z) = proba(tirer un X en premier) x proba(tirer un Z en deuxième sachant que l'on a tiré un X en premier)


Par exemple, pour reprendre tes calculs :
Proba(tirer un C en premier ) = 2/97 (il y a 2 C dans le jeu)
Proba(tirer un O en deuxième sachant que l'on a tiré un C en premier ) = 6/96 (il y a 6 O, et on enlève le C qu'on vient de tirer)
Proba(tirer un N en troisième sachant que l'on a tiré un C puis un O) = 6/95 (idem )

Ce que tu peut en déduire, c'est que, lorsque l'on ne tire que trois lettres, on a :
proba(tirer un C puis un O puis un N) = 2/97 x 6/96 x 6/95

sauf que, tirer "CON" avec trois lettres, cela signifie en général les tirer dans un ordre quelconque. Il faut donc calculer aussi les proba du type
proba(tirer un N puis un O puis un C)
Il y a 6=3x2 ordres possibles pour tirer les lettres C,O,N et, en fait la proba est la même dans chaque cas (et les cas sont évidment disjoints) donc
proba(tirer un C, un O, un N dans un ordre quelconque) = 6 x (2/97 x 6/96 x 6/95) [on fait la somme de six nombres qui sont égaux]

De plus, sauf erreur, au scrable, on a en permanence 7 lettres (??) et pas 3 donc il faut plutôt se poser la question "proba de tirer au moins un C et au moins un O et au moins un N quand on tire 7 lettres" ce qui est un peu plus compliqué.

Pour le joueur suivant qui tire 7 lettres, c'est encore beaucoup plus complexe car le premier joueur peut ne pas avoir tiré "CON" mais avoir quand même tiré trois 'N' et deux 'C', ce qui fait trés nettement baisser la proba que les autres tirent "CON"

Enfin, ce qui complique encore plus, c'est que aprés ces "tirages initiaux", les joueurs gardent une partie de leurs lettres et en tirent un nombre... variable...

[Muetdhiver]

Merci bcp pour cette reponse détaillée, je vois en effet que ca n'a pas l'air si trivial que ca.

Juste une remarque: la façon dont je joue au scrabble est en formule "duplicate", c'est a dire que c'est une partie simultanée jouée par des centaine de joueurs au meme moment, et chacun prend le meme tirage, et garde, au coup suivant, les memes lettres, selon ce que dit un arbitre (on choisit à chaque tour et apres 3 minutes de reflexion la meilleure solution qui soit).

Donc la proba de tirage une lettre n'est déterminée que par notre propre reliquat, et non également selon le reliquat d'un hypothétique joueur qui jouerait en face de nous, vu que tout le monde a le meme tirage...

Encore merci pour la réponse.

A+
Alex.