Prob de 1ereS

[Anonyme]

Re bonjour

voila j'ai fini l'exercice dont l'enonce est :
Dans le plan rapporte au repere orthonorme (O,i,j), on considere les trois
points
A(3,2) B(4,(-1)) C(7,3)

a) Calculer AB, BC, AC ainsi que le demi perimetre p de ce triangle
b) Donner une equation cartesienne de chacune des droites (AB), (BC), (AC)
c) En deduire les valeurs des trois heuteurs du triangle ABC
d) Calculer de quatre facons differentes la surface de ce triangle
e) Donner les equations des trois hauteurs ainsi que les coordonnees de
l'orthocentre
f) Exposer sans calculs une methode pour trouver les coordonnees du centre
circonscrits au triangle ABC

Voila ce que j'ai fais :

vect(AB) (1,(-3))
vect(BC) (3,4)
vect(AC) (4,1)

a) calculer les distance AB BC AC et le demi perimetre
||AB|| = sqrtAB² = sqrt (AB.AB) = sqrt[(1i-3j)(1i-3j)] => sqrt[(1i)+(9j)] =
sqrt(10)
de la meme facon je trouve ||BC|| = 5 et ||AC|| = sqrt(17)
d'ou p = [sqrt(17)+sqrt(10)+5]/2

b) donner les equations cartesiennes des droites
A(3,2) et soit M un point de la droite (AB) de coordonnees (x,y)
vect(AM) (x-3,y-2)
vect(AM) = k vect(AB) => car AB et AM sont colineaires
x-3 = k => -3(x-3) = y-2
y-2 = -3k
d'ou AB a pour equation cartesienne -3x-y+11
de la meme facon BC = 4x-3y-19 et AC = x-4y+5

c) deduire de b) les valeurs des trois hauteurs
on utilise la formule pour calculer la distance d'un point a une droite on a
:
d(C;(AB)) = |-3*7-3+11|/sqrt((-3)²+(-1)²) = 13/sqrt(10)
de la meme facon d(A;(BC)) = 13/5 et d(B;(AC)) = 13/sqrt(17)

d) calculer de quatre facon l'aire du triangle
-1ere methode : formule de Heron
sqrt[p(p-sqrt(10))(p-sqrt(17))(p-5)] = 13/2
-2eme methode :
sinC = AB/BC = sqrt(10)/5 d'ou sin-1C = 40°
(BC*AC*sinC)/2 = 13/2
-3eme methode
(B*h)/2
(BC*hBC)/2 = (5*(13/5)/2 = 13/2
4eme methode : ? a moins de reutiliser la methode (B*h)/2 je ne vois pas

e) equations des hauteurs et coordonnees de l'orthocentre
-les equations ds hauteurs
soit CP, BQ et AR les trois hauteurs
BQ _|_ AC
4(x-4)+(y+1) = 0 => 4x + y - 15 = 0
de la meme facon pour AR = 3x + 4y - 17 = 0 et CP = x - 3y + 2 = 0

-les coordonnees de l'orthocentre
l'orthocentre doit verifie chacune des equations des trois hauteurs d'ou on
trouve :
4x + y - 15 = 0 4(3y - 2) + y - 15 = 0
3x + 4y - 17 = 0 => 3(3y - 2) + 4y -17 = 0 => d'ou y =
23/13 et x = 43/13
x - 3y + 2 = 0 x = 3y - 2
l'orthocentre a donc pour coordonnees (43/13,23/13)

f) trouver sans calcul le centre du cercle circonscrit au triangle
pour cette questoin je pense qu'il faut utiliser le barycentre des trois
points A, B, C mais je ne vois pas comment on fait pour definir les masses
qu'a chacun de ces points, a moins que vous ayez une meilleur solution je ne
vois pas comment on pourrait faire autrement

Merci a tous pour votre aide

[Anonyme]

f)calculer l'equation de deux médiatrices des deux cotés du triangles et
trouver leur point d'intersection. En effet le centre du cercle circonscrit
se trouve a l'intersection des mediatrices.

"Romain" a écrit dans le message de
news:402278c4$0$279$626a14ce@news.free.fr...
> Re bonjour
>
> voila j'ai fini l'exercice dont l'enonce est :
> Dans le plan rapporte au repere orthonorme (O,i,j), on considere les trois
> points
> A(3,2) B(4,(-1)) C(7,3)
>
> a) Calculer AB, BC, AC ainsi que le demi perimetre p de ce triangle
> b) Donner une equation cartesienne de chacune des droites (AB), (BC), (AC)
> c) En deduire les valeurs des trois heuteurs du triangle ABC
> d) Calculer de quatre facons differentes la surface de ce triangle
> e) Donner les equations des trois hauteurs ainsi que les coordonnees de
> l'orthocentre
> f) Exposer sans calculs une methode pour trouver les coordonnees du centre
> circonscrits au triangle ABC
>
> Voila ce que j'ai fais :
>
> vect(AB) (1,(-3))
> vect(BC) (3,4)
> vect(AC) (4,1)
>
> a) calculer les distance AB BC AC et le demi perimetre
> ||AB|| = sqrtAB² = sqrt (AB.AB) = sqrt[(1i-3j)(1i-3j)] => sqrt[(1i)+(9j)]
=
> sqrt(10)
> de la meme facon je trouve ||BC|| = 5 et ||AC|| = sqrt(17)
> d'ou p = [sqrt(17)+sqrt(10)+5]/2
>
> b) donner les equations cartesiennes des droites
> A(3,2) et soit M un point de la droite (AB) de coordonnees (x,y)
> vect(AM) (x-3,y-2)
> vect(AM) = k vect(AB) => car AB et AM sont colineaires
> x-3 = k => -3(x-3) = y-2
> y-2 = -3k
> d'ou AB a pour equation cartesienne -3x-y+11
> de la meme facon BC = 4x-3y-19 et AC = x-4y+5
>
> c) deduire de b) les valeurs des trois hauteurs
> on utilise la formule pour calculer la distance d'un point a une droite on
a
> :
> d(C;(AB)) = |-3*7-3+11|/sqrt((-3)²+(-1)²) = 13/sqrt(10)
> de la meme facon d(A;(BC)) = 13/5 et d(B;(AC)) = 13/sqrt(17)
>
> d) calculer de quatre facon l'aire du triangle
> -1ere methode : formule de Heron
> sqrt[p(p-sqrt(10))(p-sqrt(17))(p-5)] = 13/2
> -2eme methode :
> sinC = AB/BC = sqrt(10)/5 d'ou sin-1C = 40°
> (BC*AC*sinC)/2 = 13/2
> -3eme methode
> (B*h)/2
> (BC*hBC)/2 = (5*(13/5)/2 = 13/2
> 4eme methode : ? a moins de reutiliser la methode (B*h)/2 je ne vois pas
>
> e) equations des hauteurs et coordonnees de l'orthocentre
> -les equations ds hauteurs
> soit CP, BQ et AR les trois hauteurs
> BQ _|_ AC
> 4(x-4)+(y+1) = 0 => 4x + y - 15 = 0
> de la meme facon pour AR = 3x + 4y - 17 = 0 et CP = x - 3y + 2 = 0
>
> -les coordonnees de l'orthocentre
> l'orthocentre doit verifie chacune des equations des trois hauteurs d'ou
on
> trouve :
> 4x + y - 15 = 0 4(3y - 2) + y - 15 = 0
> 3x + 4y - 17 = 0 => 3(3y - 2) + 4y -17 = 0 => d'ou y =
> 23/13 et x = 43/13
> x - 3y + 2 = 0 x = 3y - 2
> l'orthocentre a donc pour coordonnees (43/13,23/13)
>
> f) trouver sans calcul le centre du cercle circonscrit au triangle
> pour cette questoin je pense qu'il faut utiliser le barycentre des trois
> points A, B, C mais je ne vois pas comment on fait pour definir les masses
> qu'a chacun de ces points, a moins que vous ayez une meilleur solution je
ne
> vois pas comment on pourrait faire autrement
>
> Merci a tous pour votre aide
>
>

[Anonyme]

> "Romain" a écrit dans le message de
> news:402278c4$0$279$626a14ce@news.free.fr...
>[color=green]
>>
>>voila j'ai fini l'exercice dont l'enonce est :
>>Dans le plan rapporte au repere orthonorme (O,i,j), on considere les trois
>>points
>>A(3,2) B(4,(-1)) C(7,3)
>>[/color]
[...][color=green]
>>f) Exposer sans calculs une methode pour trouver les coordonnees du centre
>>circonscrits au triangle ABC
>>
>>Voila ce que j'ai fais :[/color]
[...][color=green]
>>f) trouver sans calcul le centre du cercle circonscrit au triangle
>>pour cette questoin je pense qu'il faut utiliser le barycentre des trois
>>points A, B, C mais je ne vois pas comment on fait pour definir les masses
>>qu'a chacun de ces points, a moins que vous ayez une meilleur solution je
>> ne
>> vois pas comment on pourrait faire autrement
>>
>>Merci a tous pour votre aide[/color]

jaja a écrit:
> f)calculer l'equation de deux médiatrices des deux cotés du triangles
> et trouver leur point d'intersection. En effet le centre du cercle
> circonscrit
> se trouve a l'intersection des mediatrices.

Bonjour,
***sans calcul*** ???
Indice : droite d'Euler du triangle ABC
Le centre du cercle circonscrit, le centre de gravité (équibarycentre),
et l'orthocentre sont alignés etc...
C'est presque sans calcul...

--
philippe
(chephip arobase free point fr)