Preuve du lemme de Thue (arithmétique)

[M.Floquet]

Voici le lemme : soit et , si alors il existe tels que et et tels que soit divisible par .

J'essaye de construire explicitement .

On considère qu'il existe tel que : .

Ensuite, Par Bachet-Bézout, il existe tels que : . En remplaçant j'obtiens : .

Mais après, je ne sais plus comment avancer.
Merci d'avance !

[Ben314]

Salut,
Il y a assez clairement un (gros) bug dans l'énoncé, vu que si on prend on ne peut plus bêtement le résultat est trivialement vrai.
Tu as pas un truc un peu plus cohérent ?

[M.Floquet]

Effectivement il faut les prendre strictement positif.

[Ben314]

Je suis pas sûr qu'il y ait une construction explicite du (ou des) et du résultat vu que le seul truc qui me semble raisonnable comme preuve, ça utilise le "Principe des tiroirs" qui est essentiellement non constructif.

On suppose et pose (partie entière) c'est à dire .

Pour tout , comme l'équation (d'inconnus et ) admet une infinité de solutions de la forme avec donc il existe (exactement) une solution .
De plus, si et que et alors et sont divisibles par donc l'est aussi et, vu que n'est pas divisible par (car ), on a forcément , c'est à dire .


Rangeons les différents dans l'ordre décroissant : et notons les correspondant (qui sont les entiers réécrits dans un certain ordre)
Si on pose , on a :

Donc ce qui signifie que (car et entier).

Deux cas se présentent alors :

- Soit il existe tel que et les entiers et sont tels que :
avec est divisible par .

- Soit et les entiers et sont tels que :
avec est divisible par .

[M.Floquet]

Pourquoi on pose ce fameux en fait ?

[M.Floquet]

De plus, l'infinité de solutions de découle du théorème de Bézout ?