Lemme arithmétique

[lapras]

Bonsoir,
j'ai trouvé sur un forum un lemme :

3 divise a²+b² <=> 3 divise a et 3 divise b

supposons que 3 divise a²+b² :
a²+b² = 0[3]
a²=-b²[3]
a^3=-ab²[3]
Théoreme de fermat : a^3 = a [3]
donc
ab²=-a[3]
a(b²+1)=0[3]
supposons que 3 divise b²+1
b²+1=0[3]

il apparait rapidement que [3] b²+1=0[3] n'a pas de solution
(en effet si
b=0(3)
b²+1=1(3)
si
b=1(3)
b²+1=2(3)
si
b=2(3)
b²+1=5(3)=2(3)
donc b²+1 jamais = 0 [3] )

Lemme de Gauss :
3 premier avec b²+1
donc 3|a

donc
a²/3 = K
K entier naturel
donc (a²+b²)/3 = K + b²/3
donc 3 divise necessairement b²
donc 3 divise b

Es ce que ma démo est valable ?
Merci :ptdr:

[lapras]

Suis je bete il suffisait d'étudier les congruences de x² mod 3
et ca tombait tout seul !

[emdro]

Cher Lapras,

C'est bon, mais irraisonnablement long! :hum:

Ce défaut provient du fait qu'on est habitué à faire des raisonnements dans les ensembles infinis (parce qu'on ne peut examiner tous les cas). Ici, Z/3Z, ce n'est pas la mer à boire:
Tu remarques que si a=0[3] alors a²=0[3], et sinon, a²=1[3].
Tu peux faire une table à double entrée avec les valeurs de a²+b² pour:
*a=0[3] ou bien a différent de 0 [3] en colonne
*b=0[3] ou bien b différent de 0 [3] en ligne.

Tu verras rapidement que tu as UN SEUL 0, des 1 et un 2.
Et le 0 est obtenu pour a=b=0[3]!

[emdro]

Suis je bete!

Quand même pas...

[lapras]

Bonsoir emdro !

Oui je me suis rendu compte apres de la simplicité d'étudier toutes les congruences mod 3
On tombait sur
x² = 1 ou 0 (3)
c'est bien plus rapide...
Vu que c'était un lemme d'olympiades je me suis dit que c'était un gros lemme genre petit théoreme de fermat lol
Donc je suis parti sur un gros raisonnement :marteau: