Polynôme

[fifig10]

Bonjour,

J'aurais besoin d'aide pour démontrer que x(x+1)(x+2)(x+3)+1 est le carré d'un trinôme du second degré.

Merci d'avance

[Finrod]

J'ai pas de méthode simple sous la main mais si tu poses a une racine, il te faut montrer que c'est une racine double. Tu note P le quotient de la division de ton polynome par (X-a) alors il est facile de calculer P(0)...P(-3) en fonction de a. Par interpolation on retrouve P en fonction de a et il faut alors vérifier P(a) = 0 (si le calcul n'est pas trop compliqué.


ah... oui, je viens de vérifier que c'est dans la rubrique lycée donc évidemment cette solution est hors programme. je poste si je trouve mieux.

[Finrod]

Non mais peut être, il suffit juste d'étudier la fonction et de montrer que c'est toujours positif et qu'il n'y a que deux racines réelles. cela implique que les racines en question sont doubles car si elles étaient simples, la fonction changerait de signe.

[oscar]

Bonjour

Soit A = x(x+1)(x+2)(x+3) + 1(1)

(x+1)(x+2) = x² +3x +2= x(x+3) -2
poser x(x+3) = p
Remplacer dans (1): on a p(p-2) +1=..

[Finrod]

J'ai mieux (que ce que j'ai dit moi ,avant)

Il faut vérifier que la fonction est strictement positive. Elle n'admet donc pas de racine réelle. Elle n'admet pas non plus de racine complexe simple car sinon le polynôme ne serait pas à coefficient réel. c'est donc un carré d'un trinôme du second degrés.

@Oscar : Joli !

[oscar]

Il,suffit de développer

p(p-2) +1 et on obtient un trinôme carré parfait

[annick]

Bonsoir,
il y a aussi une méthode un peu lourde mais efficace :si c'est le carré d'un polynôme du second degré, on pose ce polynôme de la forme ax²+bx+c et on calcule son carré en regroupant au final les termes en fonction du degré de x.
De l'autre côté, on développe l'expression qui est donnée et on regroupe aussi les termes par degré de x.
Puis par identification, on trouve les coefficients a, b et c.

[dudumath]

plus simplement, tu dis que si ton expression s'écrit sous la forme (X²+aX+c)²
tu sais que f(0)=f(-1)=f(-2)=f(-3)=1, ce qui te donne un système déquation à résoudre

[fifig10]

Donc si j'applique la méthode d'Annick:

(ax²+bx+c)²= a²x²+2abx³+x²(2ac+b²)+2bcx+c²

x(x+1)(x+2)(x+3)=x^4+6x³+11x²+6x+1

On alors a=1 et b=3 et c=1.

Et si on développe (x²+3x+1)² on retrouve bien le résultat du développement de x(x+1)(x+2)(x+3)

[Ericovitchi]

oui bravo, effectivement x(x+1)(x+2)(x+3)+1=(x²+3x+1)²

[fifig10]

Je bloque encore sur un autre exercice :

déterminez un trinôme du second dergé admettant : les réels 2 et -5 comme racines.

[Ericovitchi]

si un polynôme du second degré admet a et b comme racine c'est qu'il peut se mettre sous la forme d'un produit de facteur k(x-a)(x-b)

[fifig10]

Comme on connait les racines 2 et -5 ça donne : k(x-2)(x+5)=k(x²+3x-10)
Mais je ne sais pas comment trouver le polynôme.

[Ericovitchi]

mais tu l'as trouvé, c'est par exemple x²+3x-10

[fifig10]

k est égal au coéfficient de x² ?

[Ericovitchi]

non ça n'est pas tout à fait ça.
En fait il y a une infinité de polynômes qui ont pour racines 2 et -5. Ils sont tous proportionnels entre eux. Ils ont la forme k(x²+3x-10)

Mais dans ton problème, on te demande d'en donner un donc tu peux prendre n'importe lequel et donc choisir un k arbitrairement et par exemple faire k=1 et donner x²+3x-10
mais 2x²+6x-20 est également une réponse correcte.

[fifig10]

D'accord, merci beaucoup !

[fifig10]

Rebonjour,

J'ai trouvé la solution d'un exercice mais avec de la chance, et je ne parviens pas à trouver la méthode pour trouver la réponse.

Comment choisir le réel m pour que l'équation 2x²+x-m=0 admette x=-1 pour racine ?
J'ai trouvé que pour m=1 ce la marchait.

Merci d'avance

[Ericovitchi]

Pour que 2x²+x-m=0 admette x=-1 pour racine il suffit que ça fasse zéro quand on remplace x par -1
Et effectivement ça fait bien 2-1-m=0 --> m=1