Polynôme de second degré

[EdouardScool]

Bonsoir,
mon professeur de maths m'a donné un DM à rendre pour ce jeudi... Après plusieurs heures de recherches, je n'arrive toujours pas à résoudre l'exercice sachant que nous travaillons sur les polynôme de second degré.

Voici l'énoncé :
Soit la fonction f définie sur IR par f(x) = 4x² - 5x + 2. On note P la parabole représentant graphiquement f dans un repère.
1) Soit a un nombre réel, on note (Da) la droite d'équation y = X + a.
Pour quelles valeurs de a la droite (Da) coupe t-elle la parabole en un seul point ? en deux points distincts ?
2) Soit b un nombre réel, on note (Δb) la droite d'équation y = bx.
Pour quelles valeurs de m la droite (Δb) coupe t-elle la parabole en un unique point ?

N'importe quelle aide serait la bienvenue ! Merci

[LB2]

Bonsoir,

pour la 1) je te propose de commencer par un exemple : a=2

Que peux-tu dire de l'intersection de la droite d'équation y=x+2 et de la parabole d'équation y=f(x) ?

[laetidom]

Bonsoir,

Un visuel avec des exemples peut-il aider à la reflexion . . . ? :

[EdouardScool]

Merci beaucoup pour vos réponses !
Je peux donc dire que la parabole est coupée en deux points distincts, mais ce qui me pose le plus problème, c'est de prouver par le calcul.
J'avais commencé à écrire une inéquation :
4x² - 5x + 2 = x + a
4x² - 6x + 2 = a
Mais je ne suis pas sur si elle est juste et si je suis sur la bonne piste...

[pascal16]

a est une constante et va avec le 2, pour avoir la forme Ax²+Bx+C=0

ensuite, sans calculer le résultat est-ce que tu sais dire combien il y a de solution en fonction de delta ?

[Lostounet]

Merci beaucoup pour vos réponses !
Je peux donc dire que la parabole est coupée en deux points distincts, mais ce qui me pose le plus problème, c'est de prouver par le calcul.
J'avais commencé à écrire une inéquation :
4x² - 5x + 2 = x + a
4x² - 6x + 2 = a
Mais je ne suis pas sur si elle est juste et si je suis sur la bonne piste...

C'est un bon début!
Mais on peut mieux rédiger pour rendre les choses plus claire.

* Tous les points de la courbe de la parabole y= 4x² - 5x + 2 qui ont pour abscisse x ont pour ordonnée 4x² - 5x + 2.

* Tous les points de la droite y=x+a qui ont pour abscisse x, ont pour ordonnée x+a (où a est un nombre).


Les points d'intersection éventuels de la parabole et de la droite ont les mêmes ordonnées 4x² - 5x + 2 et x+a en certains point x.

Donc on résout 4x² - 5x + 2=x+a dont les solutions èventuelles sont les abscisses telle que les ordonnées sont égales pour les deux fonctions (donc intersection).

Soit 4x^2-6x+(2-a)=0 (eh oui il faut avoir 0 à droite!)

Or maintenant nous savons que cette équation du second degré possède 0 , 1 ou deux solutions selon le signe de son delta qui vaut ici.... (en fonction de a)....


Donc on va étudier le signe de delta en fonction de a pour voir son signe. Le signe de delta nous renseigne directement sur le nombre de "x" susceptibles de vérifier l'équation et donc le nombre de points d'intersection.

[Landstockman]

Merci beaucoup pour vos réponses !
Je peux donc dire que la parabole est coupée en deux points distincts, mais ce qui me pose le plus problème, c'est de prouver par le calcul.
J'avais commencé à écrire une inéquation :
4x² - 5x + 2 = x + a
4x² - 6x + 2 = a
Mais je ne suis pas sur si elle est juste et si je suis sur la bonne piste...

Ce sont des équations pas des inéquations, les inéquations c'est avec des inégalités^^

[EdouardScool]

Vous m'avez bien avancé mais je n'arrive pas à résoudre l'équation maintenant...
4x²+2-6x + (2 - a) = 0
En faite, c'est le (2-a) qui me dérange...

[Lostounet]

Vous m'avez bien avancé mais je n'arrive pas à résoudre l'équation maintenant...
4x²+2-6x + (2 - a) = 0
En faite, c'est le (2-a) qui me dérange...

Je t'ai dit ce qu'il fallait faire si tu avais bien lu mon message: il faut calculer le discriminant delta en fonction de a...

[laetidom]

4x² - 6x + (2 - a) = 0

Bonjour,

a = 4

b = - 6

c = 2 - a

donc

[EdouardScool]

Je viens d'essayer de calculer le discriminent mais je pense que j'ai un peu fais n'importe quoi :

4x² + 2 - 6x + (2-a) = 0
4x² - 6x +2 +(2-a) = 0
Δ = b² - 4 (a) (c)
Δ = (-6)² - 4 (4) (2+2-a)
Δ = 36 - 16 (2+2-a)
Δ = 20 (2+2-a)
Δ = 40 + 40 - 20a
Δ = 80 - 20a

[EdouardScool]

Si
a = 4
b = - 6
c = 2 - a

Le discriminent est alors égal à :
= 4x² - 6x + 2-a
Δ = (-6)² - 4 (4)(2-a)
Δ = 36 - 16 (2-a)
Δ = 20 (2-a)
Δ = 40 - 20a

La suite est alors peut être de chercher quand est-ce que la droite "y" coupe t-elle l'équation "f" en un seul point (donc de chercher 40 - 20a = 1) et en deux points distincts (donc chercher 40 - 20a = 2) ?

[EdouardScool]

Ah mais non ! Il faut surement chercher quand est-ce que cette équation (40 - 20a) est égal à 0 (coupe en un point distinct) et quand est-ce qu'elle est supérieur à 0 (coupe donc en deux points distincts) ?

[Lostounet]

Δ = 36 - 16 (2-a)
Δ = 20 (2-a)

ça c'est faux...
On commence toujours par la "multiplication" 16(2 - a) et non pas par l'addition/soustraction. La multiplication est prioritaire.

Δ = 36 - 16 (2-a) = 36 - (16*2 - 16*a) = ....

[EdouardScool]

Ah oui c'est vrai ! Erreur d’inattention...*

Δ = 36 - 16 (2-a)
Δ = 36 - 32 - 16a
Δ = 4 - 16a
Pour que la droite "y" coupe l'équation "f" en un seul point, il faut que "4 - 16a = 0" soit a = 0,25
Et pour que "y" coupe l'équation "f" en deux points distincts, il faut que "4 - 16a > 0" soit a > 0,25

C'est bien ça ?

[Lostounet]

Ah oui c'est vrai ! Erreur d’inattention...*

Δ = 36 - 16 (2-a)
Δ = 36 - 32 - 16a

Encore une erreur
- 16(2 - a) = -16*(2) - 16*(-a) = -32 + 16a et pas -16a...

[EdouardScool]

En effet, du coup pour que la droite "y" coupe l'équation "f" en un point distinct, il faut que "a" soit égal à -0,25 car 4 + 16(-0,25) = 0
Et pareil pour deux points distincts mais a > (-0,25)

J'ai enfin trouvé ?

[laetidom]

Effectivement en on a un point distinct

[Ben314]

En effet, du coup pour que la droite "y" coupe l'équation "f" en un point distinct, il faut que "a" soit égal à -0,25 car 4 + 16(-0,25) = 0

Et des cas où ça coupe en un point, mais pas "distinct" (le point), y'en a ?

[EdouardScool]

C'était une erreur de ma part mdrr

Merci bcp pour vos réponses ! je vais maintenant essayer de répondre à la question deux