Polyèdre et contraintes [Bac S 2009 E-U]

[busard_des_roseaux]

Bj,


je flippe un peu car j'ai fait un énoncé de Bac S ce matin et je n'arrive pas
à remettre la main sur l'énoncé :hum: . Donc , de mémoire.

Soit l'espace euclidien de dim 3, muni d'un repère.

soit (P) le plan d'équation


i)
coordonnées des points A,B,C d'intersection de (P) avec les axes.
(dans l'ordre: A=(P) (x'Ox))
jusqu'içi, ça va :we:

soit (Q) le plan d'équation



ii)
coordonnées des points D,E,F d'intersection de (Q) avec les axes.
(dans l'ordre: D=(Q) (x'Ox))
ça va encore :we:

iv)

I le point
(I est situé dans le plan horizontal d'équation z=0)

J le point
(J est situé dans le plan vertical d'équation x=0)


iii)
ensuite le domaine (S) d'équations


J'ai bien vû que (S) était un polyèdre, connexe (d'un seul morceau)
et convexe.

Le problème, c'était de calculer son nombre de faces.
d'ailleurs, c'était pas demandé. :doh:

J'ai considéré les intersections des cinq plans
du système , 3 par 3, ce qui me donne au plus
sommets.

j'en élimine 3 qui n'appartiennent pas à (S) et un qui est parti
à l'infini : en effet, la droite (IJ) est dans un plan parallèle à (xOz).

Pour obtenir le nombre de faces du solide (S), j'utilise la formule d'Euler
#F+#S-#A=2
#F: nombre de faces, #A: nombre d'arêtes, #S: nombre de sommets

et j'étais ennuyé pour savoir si les segments qui joignent les
sommets sont des arêtes ou bien des diagonales "intérieures"
je décide de tester si les coordonnées des milieux des segments
vérifient les inégalités strictes (<) du système
d'équations auquel cas, il s'agit d'une diagonale
ou bien au moins une égalité () , auquel cas on a affaire
à une arête.

Donc ma question (1):
comment déterminer plus facilement le nombre de faces du solide (S),
ce qui me permettrait d'être assuré de l'épure de (S)
?

ensuite, ça se corsait:
un 3ème plan faisait son apparition (le mauvais plan :zen: )
d'équation


C'était demandé de trouver la valeur maximale
de la quantité sur (S).

Je vois qu'il s'agit de paramétrer, par , une famille de plans parallèles
d'équation

Comment trouver la valeur max et le point correspondant ?
faut il trouver les inéquations , exprimant les contraintes du polygone, que découpe (S) sur . ?

Puis réduire ce polygone progressivement à
un unique point, en faisant varier continuement le paramètre ?


merçi d'avance, pour vos réponses.

[Ericovitchi]

moi je crois surtout qu'il faut dessiner et regarder où est l'intersection des deux plans.
Il y a un truc intéressant quand on regarde l'intersection, donc quand on essaye de résoudre
2x+3y+4z=12
x+5y+2z=10
c'est que si on multiplie la seconde équation par 2 et qu'on fait la première équation moins la seconde, on trouve 7y=8

Ca veut dire que la droite intersection des deux plans est dans ce plan d'équation y=8/7 et donc ce plan est une face de ton polyèdre. Pour tous les y inférieurs, un des plans est au dessus de l'autre.
Donc en fait ton polyèdre c'est un tétraèdre dont on a coupé une des pointe avec le plan y=8/7. On peut en déduire facilement le nombre de faces.

[Ericovitchi]

Pour le maximum de x+5y+z, il faut regarder quand est-ce que les plans de la famille contiennent le sommet le plus éloigné du polyèdre. Le mieux est d'essayer l'expression x+5y+z sur toutes les coordonnées des sommets et de regarder la valeur la plus forte. C'est alors le maximum.

[busard_des_roseaux]

Bonjour Ericovtchi !!

merçi pour ta réponse.

on trouve 7y=8

Ca veut dire que la droite intersection des deux plans est dans ce plan d'équation y=8/7 et ..
Donc en fait ton polyèdre c'est un tétraèdre dont on a coupé une des pointe avec le plan y=8/7. On peut en déduire facilement le nombre de faces.

maintenant que tu l'écris, je vois mieux. Donc 5 faces.
Je craignais d'en oublier une.

et sinon , il y a une méthode pour detérminer le nombre de faces d'un
polyèdre convexe à partir des inéquations ?

[busard_des_roseaux]

Le mieux est d'essayer l'expression x+5y+z sur toutes les coordonnées des sommets et de regarder la valeur la plus forte. C'est alors le maximum.

oui, d'accord pour les sommets . L'idée, c'est que le solide (S)
et le(s) plan(s) se découpent mutuellement.

en particulier , tant que ne rencontre pas une face en un seul point
mais en un segment, on peut encore réduire l'intersection,
ce qui se fait en augmentant

merçi.

[Ericovitchi]

oui tu as raison la théorie (les maximums sont sur les sommets) ne marche que si P lambda ne coupe pas le polyèdre suivant une arrête ou une face (mais ça n'est pas le cas en l'occurrence).

Pour calculer le nombre de faces, etc... je ne connais pas de formules mais l'histoire de maximiser une forme linéaire sur un polyèdre est un problème connu de maximisation sous contrainte. Regardes dans wikipedia à simplexe et aussi programmation linéaire , tu vas trouver ton bonheur

[busard_des_roseaux]

Pour le maximum de x+5y+z, il faut regarder quand est-ce que les plans de la famille contiennent le sommet le plus éloigné du polyèdre. Le mieux est d'essayer l'expression x+5y+z sur toutes les coordonnées des sommets et de regarder la valeur la plus forte. C'est alors le maximum.

ah , oui.

Pour un point M de l'espace



et comme (S) est tout entier situé dans l'angle solide
des points de coordonnées positives, il suffit de maximiser

non, j'ai rien dit. je tourne en rond... :hum:

[Ericovitchi]

Moi je dirais :
Quand on se déplace sur la droite normale au plan x+5y+z = 0 depuis le point O, on fait croître la quantité x+5y+z
il suffit de regarder quand est-ce que c'est maximum. On sait que ça ne peut être que sur une arrête ou un sommet.
A tous les coups c'est au point (10, 0,0) car sur les y ça ne dépasse pas 8/7 et x+5y+z n'est pas plus grand. et sur z le sommet est à 5

Donc c'est (10, 0,0) le max et il vaut 10

[busard_des_roseaux]

re,

le solide (S) a 5 faces,9 arêtes et 6 sommets:







le max de 10 est atteint en I et E et sur toute l'arête [IE]
car appartient à la direction
des plans affines