Plans et droites Term

[sad13]

Bonsoir, j'ai ,sous mes yeux, un tableau récapitulatif des différentes interprétations géométriques des systèmes de 3 équations à 2 et 3 inconnues (S) :

(On considère qu'on a des plans distincts)

*)Pour le système 2*3:

si les vecteurs normaux n1 et n2 sont colinéaires: les plans P1 et P21 sont parallèles(strictement) et le système S n'a pas de solutions.

si les vecteurs normaux sont non colinéaires: P1 et P2 sont sécants suivant un droite : le système (S) a une infinité de solutions dépendant d'un paramètre.

**)Pour un système 3*3 (3 équations à 3 inconnues) : Trois plans non parallèles deux à deux:

*) (n1,n2,n3) coplanaires: l'intersection de P1, P2 et P3 est soit l'ensemble vide soit une droite.
Le système S n'a aucune solution ou bien une infinité de solutionss dépendant d'un paramètre

**) (n1,n2,n3) non coplanaires:
L'intersection de P1, P2 et P3 est un point.
Le système a une solution unique.


Je ne comprends pas ce qui est souligné, comment l'intersection de 3 plans peut être un point et quel est le lien avec la non coplanarité des vecteurs

[Dlzlogic]

Bonjour,
Il y a, à mon avis, une ambiguïté dans la notion de vecteurs coplanaire.
Cette notion de terminologie a été évoqué cette semaine.
Un vecteur normal à un plan est un vecteur libre. Deux vecteurs libres peuvent être parallèles ou non. S'ils sont parallèles ils définissent un plan, c'est probablement l'origine de terme "coplanaire". Moi, je préfère "parallèle".
Si les 3 vecteurs n1, n2, et n3 sont parallèles, les 3 plans dont ils sont le vecteur normal sont soit parallèles, soit confondus.

Si n1, n2 et n3 ne sont pas parallèles, c'est à dire qu'ils sont portés par 3 directions différentes, alors l'intersection P1 et P2 est une droite D et l'intersection du plan P3 avec la droite D est un point. C'est la solution unique.

[sad13]

Merci beaucoup, pour votre aide mais j'ai quelques remarques voire questions:

*) Deux vecteurs libres peuvent être parallèles ou non.

S'ils sont parallèles, ils ne sont plus libres mais colinéaires(me semble-t-il)?!

**) S'ils sont parallèles ils définissent un plan, c'est probablement l'origine de terme "coplanaire".

Ok mais on est bien d'accord qu'on peut définir un plan avec un seul vecteur et un point? entre autres et non nécessairement deux vecteurs? Je ne remets pas en cause votre écrit mais je vérifie mes acquis(faibles en géométrie de l'espace)

[emcee]

on est bien d'accord qu'on peut définir un plan avec un seul vecteur et un point?

euh ... non.

Prenons par exemple le vecteur i dans la base (i,j,k) ) et comme point : l'origine.
Ces deux éléments ne définissent pas un plan unique, car le plan normal à j et le plan normal à k contiennent tous les deux i et le point O !

Dans toutes les dimensions (2D, 3D, 4D ...) un vecteur et un point ne définissent qu'une chose : une droite.

[sad13]

ok merci donc il faudrait deux vecteurs libres pour définir un plan?

[Dlzlogic]

ok merci donc il faudrait deux vecteurs libres pour définir un plan?

Je pense qu'il faut bien distinguer le cas où les vecteurs servent à la définition d'un plan normal, c'est à dire que le vecteur est le vecteur normal au plan, et le cas où le vecteur appartient au plan.
S'il s'agit d'un vecteur normal, alors, si on connait un point, le plan est défini.
Sinon, c'est à dire que le vecteur appartient au plan cherché, alors c'est une information sans intérêt.

Deux vecteurs non libres ayant un point commun, c'est à dire qui ont par exemple la même origine, définissent un plan. En effet, il existe un vecteur perpendiculaire à ces deux vecteurs non libres, résultat du produit vectoriel. c'est le vecteur normal au plan, comme on connait un point du plan, le plan est défini.