Pgcd

[nxthunder]

SAlut a tous,

Je voulais savoir si vous pourriez me dire, si mon raisonnement est juste :

1 °Montrons que ,

Supposons que : Tout diviseur commun à a et b divise aussi a - bq .
Divisant a - bq et b, il divise leur pgcd.
Le pgcd de a et b (qui est un diviseur commun à a et b) divise donc celui de a - bq et b.
Réciproque : D’un autre côté, tout diviseur commun à a - bq et b divise aussi (a - bq) + bq = a , donc,divisant a et b, il divise leur pgcd. Le pgcd de a - bq et b divise donc le pgcd de a et b.
Chacun de ces entiers naturels divise l’autre, ils sont donc égaux.
On a ainsi

2° Ensuite on demande de trouver des nombres , , tels que : ,





En identifiant les termes de meme degre on a :





3° Apres on veut montrer que ,

. On peut en conclure
que le pgcd de est le même que celui de (n + 2,-38) , d’après le résultat précédent, donc aussi celui de (n + 2,38)

4° Il faut déterminer l'ensemble des entiers relatifs n tels que : (n+2 ) |

n + 2 divise si et seulement si le pgcd de est égal à n + 2 , donc si et ssi le pgcd de (n + 2,38) est égal à n + 2 , donc si et ssi n + 2 divise 38.

Or 38 a pour diviseurs –38, -19, -2, -1, 1, 2, 19, 38. Ce sont les valeurs de n + 2 , On en conclut que n + 2 divise 5n3 - n pour n appartenant à {-40, -21, -4, -3, -1, 0, 17, 36}

5° Il faut déterminer les valeurs possibles du PGCD de et

Le pgcd de est un diviseur positif de 38, il peut prendre les valeurs 1, 2, 19,38

6° Determinons l'ensemble des entiers relatifs tels que :

est égal à 19 si et ssi n + 2 est un multiple de 19, mais pas de 38, donc si et ssi n + 2 est le
produit de 38 par un entier impair, donc si et ssi il existe tel que :
n + 2 =19(2k +1) n =19(2k +1) - 2 .


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Pouvez vous me dire si le raisonnement est correct ? Merci.

[nxthunder]

UP ? :lol5: S.V.P