Pgcd

[GeorgeB]

Bonjour, je bloque sur deux démonstrations sur les PGCD,

comment montrer que :
PGCD(a,b)=1 ==> PGCD(a,bc)=PGCD(a,c)


Comment déterminer :
PGCD(a^m ; b^n) sachant que PGCD(a;b)=1

Merci :ptdr:

PS: Un autre soucis aussi ... c'est sur PGCD(a+b;ab)=p avec p premier ; il faut que je montre que PGCD(a;b)=p merci encore :zen:

[oscar]

1) Tout diviseur commun de a:b;c est diviseur de( a; b): ( a: bc) et ( a:c)
et réciproquement
2)Tout diviseur de ( a^ m; b^n) est diviseur commun de ( a;b)
et réciproquement

3) tout diviseur commun de a et b est diviseur commun de a et (a+b)

[GeorgeB]

Merci, mais ça ne m'aide en rien.

Pour la 1) je vois toujours pas.


Pour la 2) tu ne démontre rien

Pour la 3) A quoi ca me sert ?

Merci

[GeorgeB]

Personne ? :cry:

C'est vraiment très important.

[GeorgeB]

Alors pour la première, PGCD(a,c) divise a et divise c donc divise bc ainsi PGCD(a,c) divise PGCD(a,bc)=kPGCD(a,c) reste à montrer que k=1.

Ai-je le droit de dire que les diviseurs de a et bc sont les diviseurs de a et c car il n'existe qu'un seul diviseur de a et b qui est 1 ? (qui permettrait de conclure mais c'est pas génial)

[benekire2]

Oubli le second paragraphe ... tu as montré que PGCD(a,c)|PGCD(a,bc)

maintenant PGCD(a,bc)|a et PGCD(a,bc)|bc or PGCD(a,bc) ne divise pas a et b d'où PGCD(a,bc)|c ainsi PGCD(a,bc)|PGCD(a,c) ie PGCD(a,bc)=PGCD(a,c)

Pour la troisième : remarque que p|a(a+b)-ab donc p|a² par gauss p|a et de même p|b d'où PGCD(a+b,ab)|PGCD(a,b)

d'autre part PGCD(a,b)|a+b [combinaisons linéaires]et PGCD(a,b)|ab ainsi PGCD(a,b)|PGCD(a+b,ab)

on conclu comme pour l'autre !! :happy3:

[GeorgeB]

merci beaucoup benekire !


Quelqu'un pourrait il alors m'expliquer comment trouver PGCD(a^m ; b^n) sachant que PGCD(a;b)=1

merci :we:

[Ben314]

Salut,
Une des méthode consiste à ce poser la question sous cette forme :
Est il possible qu'un nombre premier p divise à la fois a^n et b^m ?

[GeorgeB]

oui c'est tout a fait possible avec a=3²*7=63 et b=3*7²=147

7 divisera à la fois a^n et b^m

[GeorgeB]

a non ... ils sont premiers entre eux, donc p ne divise ni a^n ni b^m

ainsi PGCD(a^n;b^m)=1 ?


PS: On me demande ensuite ( question indépendante) de montrer que PGCD(a^n;b^n)=(PGCD(a,b))^n mais sans aucune condition sur a et b ; c'est pareil ou différent ?

[GeorgeB]

laissé tombé !! 'ai trouvé en partant de la droite !! c'est éviden


merci a ceux qui m'on aidé ! :we: