PGCD, parité

[Anonyme]

Salut,

J'ai un problème avec cet exercice, merci de vouloir me donner un coup de main.

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Soit n un entier naturel non nul, on considère les entiers suivants.

M=9n-1 et N=9n+1

1) On suppose que n est entier pair. On pose n=2p, avec p entier naturel non nul.

a) Montrer que M et N sont des entiers impairs.
b) En remarquant que N=M+2, déterminer le PGCD de M et N.

2) On suppose que n est un entier impair. On pose n=2p+1, avec p un entier naturel

a) Montrer que M et N sont des entier pairs.
b) En remarquant que N=M+2, déterminer le PGCD de M et N.

3) Pout tout entier naturel non nul n, on considère l'entier 81n²-1 en fonction des entiers M et N

a) Exprimer l'entier 81n²-1 en fonction des entier M et N
b) Déterminer que si n est pair, alors 81n²-1 est impair.
c) Démontrer que 81n²-1 est divisible par 4, si et suelement si, n est pair


Merci de votre aide

[becirj]

Bonjour

Peux-tu apporter quelques précisions . Quelles questions n'arrives-tu pas à faire ?

[Anonyme]

Re-


1)
a - Pour M :

M=9n-1=9(2p)-1=18p-1

On sait que si a=bq+r, alors a est par si et sulement si, 2 divise a, c'est a dire r=0.
ici, le reste est -1 donc M est impair.

N=9n+1=18p+1
On sait que si a=bq+r, alors a est par si et sulement si, 2 divise a, c'est a dire r=0.
ici, le reste est 1 donc N est impair.

b - je n'arrive pas

2)
a -
M=9n-1=9(2p+1)-1=18p-8=2(9p-4)
M est divisible par 2 donc M est pair

N=9n+1=9(2p+1)+1=18p+10=2(9p+5)
N est divisible par 2 donc N est pair

b - Je n'arrive pas

3 )
a -
Pour M


Pour N


La suite je ne sais pas faire



Merci de vouloir m'aider et me corriger en cas d'érreur

[becirj]

1.b) N-M=2; Le PGCD de M et N divise leur différence donc ce PGCD divise 2. Les seules possibilités sont 1 et 2 ; mais M et N sont impairs donc 2 n'est pas possible. Le PGCD est donc 1.

2.b) Le raisonnement est le même mais ici, M et N étant pairs, 2 divise M et N, le PGCD est donc 2.

3.a) Je crois qu'il fallait se contenter de
b) Si n est pair, tu as montré que M et N sont impairs , il suffit de montrer que le produit de 2 nombres impairs est toujours impair.
c) (Il y a une erreur de recopiage dans ton texte)
Si n est impair, tu as montré que M et N sont pairs . En posant M=2p et N=2p', on trouve que MN est divisible par 4.
Réciproquement , si MN est divisible par 4, n ne peut pas être pair d'après la question 3.b), conclusion : n est impair.

[allomomo]

Salut,


Pour la 3c tu peux écrire :



donc ton truc est divisible par 4 si et seulement si n=2p+1

[Anonyme]

Salut,

J'ai encore un petit problème :


Je ne sais pas comment vous faites pour montrer que le produit de deux entiers impairs reste impairs.


Et svp vérifier si ce que j'ai écrit est bon (rédaction + résultats)

Merci encore

[becirj]

Soit n=2p+1 et n'=2q+1 deux entiers impairs.

nn'=(2p+1)(2q+1)= 4pq+2p+2q+1=2(2pq+p+q)+1 qui est donc un nombre impair.

Ce que tu as fait esr par ailleurs correct.

[Anonyme]

Merci beaucoup