Petite récurrence

[Bertrand Hamant]

Bonjour j'effectuais un petit raisonemment par récurrence et je reste un peu bloqué


Il faut démontrer que pour tout n de N

e^(n+1) > 2n+1


On suppose qu'il existe un entier naturel quelconque tel que e(n+1) > 2n+1

1 temps: n = 0 e > 1 pour n = 0 la proposition est vraie


soit P(n+1) = e^(n+2) > 2(n+1) + 1

après je reste bloqué je n'arrive pas à conclure

[seb8392]

Salut !

Bien, prenons n>1:

Supposons e^n > 2n -1 (P(n-1), quoi)
Or, e>2
donc, comme tous nos nombres sont réels positifs,
e^(n+1)>4n-2 (c'est brutal hein ?)

Et une petite récurrence tout simple montre que 4n-2>2n+1 (en gros, multiplier par deux, c'est plus que ajouter deux, c'est l'idée)

donc, e^(n+1)>2n+1 ... P(n) est démontrée :happy2:

[Bertrand Hamant]

c bon si je raisonne ainsi


on a donc P(n+1) = e^(n+2) > 2n + 3


= e*e^(n+1) > 2n+3

= e^(n+1) > (2n+3) / e

Oui mais pour tout n (2n+3) / e > 1 donc 2n[ (2n+ 3) /e] + 1 > 2n+1

or l'hypothèse de récurence nous précise que e^n+1 > 2n+1


soit e^(n+1) > 2n[(2n+3)/(e) ] + 1 > 2n + 1

soit donc e^(n+1) > 2n+1

par récurrence on a démontré que e^n+1 > 2n+1


est ce correcte ?

[Mikou]

C'est tellement evident que ...

[Bertrand Hamant]

donc c'est bon mikou ou pas ?

[Mikou]

jai pas lu dsl mais c'est tres simple, linialisation c'est ok, si tu prend k ds IN et tu suppose la proptiété vraie tu as donc

[Mikou]

jai pas tout compris mais c'est tres simple une petite etude de fonction suffit.

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