[1S/TS]Petit exo pour les intéressés

[benekire2]

Bonjour,
Voilà un petit exercice qui ( je l'espère) va intéressé certains d'entre vous. Je vous préviens c'est plutôt connu et ça me fait bien penser à l'éponge de menger ...

Alors voici l'énoncé:

Soit un carré de côté une unité.
On divise ce carré en 9 carrés égaux et on colorie le carré central en orange. Chacun des 8 autres côtés sont alors divisés en 9 autres carrés de la même manière, le carré central étant lui-même colorié en orange.
Soit l'aire totale coloriée en orange à la n-ième itération.
Etudier la convergence de la suite .

Je donnerais les réponses ce soir, bien que ce soit pas très olympique.

Bon travail.

[Ben314]

Salut,
Tapis de Sierpi;)ski (dim 2) : a mon sens encore plus connu que l'éponge de menger appellée aussi éponge de Sierpinski (dim 3) mais moins connu que l'ensemble de Cantor (dim 1) qui, bizarement n'est pas appelé "segment de Sierpinski"

[benekire2]

Salut ben :happy2:

oui c'est ultra connu , je m'en doutais ... d'ailleurs il me semble qu'il y a beaucoup de questions intéressantes dessus.

[benekire2]

Visiblement ça n'a pas l'air d'intéresser beaucoup de gens. Enfin, c'est vrai que ça fait peu de temps qu'il y ait.

Bon je met la correction peu détaillée pour ceux qui la veulent.

D'abord si on s'intéresse au nombre de carrés coloriés on a :

à l'étape 1 : 1 à l'étape 2: 8 de plus à l'étape 3: 8^2 de plus

Donc au final le nombre de carrés à l'étape n est de 8^0+8^1+8^2+...+8^(n-1)

Il suffit alors de pondérer par l'aire de chacun des carrés:

étape 1: 1/9
étape 2: (1/9)^2
étape n: (1/9)^n

On obtient donc :



Par passage à la limite la suite converge vers 1 ...