Petit exercice

par **Bertrand Hamant** » 08 Sep 2005, 15:46

Bonjour

Pourriez vous me donner quelques petites indications concernant cet exercice.

ABC est un triangle isocèle en A tel que â = Pi / 5 et BC = 1. La bissectrice de l'angle ABC coupe [ AC ] en D

Faire une figure. Démontrer que les triangles BAC et CBD sont semblables et que BC² = AB x CD.

Merci

par **rene38** » 08 Sep 2005, 15:51

Bonjour

Si 2 triangles ont 2 angles égaux alors ils sont semblables et on peut écrire la proportionnalité des côtés.

par **Bertrand Hamant** » 08 Sep 2005, 15:56

Comment démontrer que BC² = AB x CD

Avec le produit scalaire mais comment ?

par **Nicolas_75** » 08 Sep 2005, 16:14

L'énoncé te suggère de partir du fait que les triangles sont semblables. L'as-tu démontré ?

par **Bertrand Hamant** » 08 Sep 2005, 16:22

Je ne trouve pas les proportionnalités dans les triangles.

par **Bertrand Hamant** » 08 Sep 2005, 16:35

Je trouve comme rapport équivalent entre les 2 triangles les suivants :

AB / BC = BC / DC ce qui équivaut à BC ² = AB x CD

Dites moi si c juste

par **Nicolas_75** » 08 Sep 2005, 16:42

C'est juste.
Mais, pour cela, il faut montrer que les triangles sont semblables.

par **Bertrand Hamant** » 08 Sep 2005, 17:43

Eh bien pour démontrer que les deux triangles sont semblables il faut dire que dans chacuns des deux triangles ils ont deux angles égaux.

Dans le triangle BAC et le triangle CBD

L'angle BAC = l'angle CDB

L'angle DCB = L'angle ACB

Il suffit que 2 angles de l'un des triangles est meme mesures que 2 angles de l'autre triangle pour dire qu'ils sont semblables

Confirmez moi si c bon

par **Bertrand Hamant** » 09 Sep 2005, 13:02

Je voulais savoir si les triangles choisis sont exactes pour démontrer qu'ils sont semblables merci.

En posant BC = x

Comment arriver à démontrer que x ( x - 1 ) = 1

par **rene38** » 09 Sep 2005, 14:00

Les triangles sont bien choisis mais "L'angle BAC = l'angle CDB" n'est pas démontré (et de plus, est faux : ce sont les angles BAC et CBD qui sont égaux)

"En posant BC = x" : non, en posant AB = x

par **Bertrand Hamant** » 09 Sep 2005, 16:18

Mais rené je dois également montré un deuxième angle pour démontrer

par **rene38** » 09 Sep 2005, 23:00

"je dois également monter un deuxième angle pour démontrer"

Comme tu l'as écrit : "L'angle DCB = L'angle ACB"

par **Bertrand Hamant** » 10 Sep 2005, 11:24

Donc à ton avis un seul angle suffit, de plus c un triangle isocèle

par **rene38** » 10 Sep 2005, 13:27

Dans le triangle ABC,

,

, ABC est isocèle en A donc

et (BD) est bissectrice de

donc

Donc

Les triangles BCD et ABC ont 2 angles égaux :

et

commun ; ils sont donc semblables et donc

d'où (produits en croix)

Le triangle ABD a 2 angles égaux donc il est isocèle en D :

or BCD est isocèle en B donc

et donc

Posons

D est sur [AC] donc

;

et

donc

ou bien

par **Bertrand Hamant** » 10 Sep 2005, 14:58

Merci peux tu me confirmer la suite pour me dire si c'est bon ou pas. Merci

3 En projetant orthogonalement A en H sur ( BC ), démontrer que BA.BC = 1/2

La hauteur issue de A coupe donc BC en H. Nous sommes dans un triangle isocèle, les droites sont concourantes donc on sait que BC = 1 et donc BH = 1/2

BA = BH + HA

BA.BC = ( BH + HA ) BC = BC.BH = 1.(1/2) = 1/2 est ce bon ?

b. En calculant autrement BA.BC, prouver que cos ( 2 PI / 5 ) = -1 + V 5 / 4

je bloque un peu pour démarrer, précisez si c'est bon et indiquez comment procédér merci

3) en déduire la valeur exacte de cos ( 4 PI / 5)

en utilisant la formule cos 2a = 2cos² a - 1

on trouve cos ( 4 PI / 5 ) = - 1 - V 5 / 4

par **Bertrand Hamant** » 10 Sep 2005, 15:23

Je pense que j'ai trouvé pour la troisième question

on sait que BA.BC = 1/2 et on connait BA = 1 + V5 / 2 soit le nombre d'or et BC = 1 on sait que cosABC = x, on sait que BAC vaut 72 degrès soit 2 PI / 5

BA.BC = BA.BC.cos ABC

(1 + V5 / 2) x = 1 / 2

x = 1 / 1 + V 5

En utilisant la formule conjuguée on parvient à 1 - V 5 / -4 soit à -1 + V 5 / 4

étant donné que ABC = 2 PI / 5 , et que cos ( 2 PI / 5) fois le nombre d'or = 1/2

donc cos ( 2 PI / 5 ) = -1 + V 5 / 4 car - 1 + V 5 / 4 fois le nombre = 1/2

Confirmez moi si la démarche est correcte

par **Bertrand Hamant** » 10 Sep 2005, 19:46

ca me semble correcte rené, à toi de juger en me fournissant ta confirmation

par **Bertrand Hamant** » 12 Sep 2005, 11:40

ALors rené peux tu me confirmer la raisonnement et les calculs merci

par **Bertrand Hamant** » 12 Sep 2005, 21:39

J'aimerais juste une confirmation c'est tout. Merci de me répondre

Petit exercice

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