, J'ai un exercice d'entraînement à faire et j'aimerais solliciter votre aide car je bloque sur une partie de l'énoncé.
Voici l'énoncé :
On considère la droite D passant par le point A ( 1; - 2; 0 ) et dirigé par le vecteur u = vect i + vect j - vect k et la droite D' de représentation paramétrique :
x = - 3 K
y = 2 + K, K
z = 4 + 7 K
1 ) a ) Déterminer une représentation paramétrique de la droite D ( vous prendrez t comme paramètre ). Déterminer un point B et un vecteur v de la droite D'.
b ) Démontrer que D et D' sont non coplanaires.
2 ) Soit M un point quelconque de D. Il existe un réel tel que AM ( flèche ) = t vect u .
Soit M' un point quelconque de D', il existe donc un réel k tel que BM' ( flèche ) = k vect v . Démontrer que :
( MM' ) et perpendiculaire commune aux droites D et D' si et seulement si
( il y a une accolade )
t ll vect u ll2-k.= vect AB.vect u
t vect u .vect v - kll vect v ll2 = vect AB.vect v
3 ) Résoudre le système d'inconnue ( t ; k ) précédents puis en déduire une représentation parametrique de la perpendiculaire commune à D et D'.
4 ) Calculer la distance entre D et D' ( c'est-à-dire la distance séparant le point d'intersection de avec D du point d'intersection avec D' ).
Ce que j'ai fait :
1) a : soit M appartenant à D alors AM =t.u soit x =t +1
y=t-2
z = -t
D a comme vecteur directeur v(-3,1,7) et passe par B(-3,2,4)
b : on fait les coordonnées et un système avec les coordonnées des deux vecteurs et on voit que ce système est impossible donc D et D' sont non coplanaires.
2 ) J'ai ceci mais je n'arrive pas à démontrer :
Soit M un point de D tel que vecteur AM = tu avec M ( x ; y ; z ).
Soit M' un point de D' tel que vecteur AM = kv avec M' ( x ; y ; z ).
On a donc :
Vect MM' .u = 0
Vect MM' .v = 0
On sait que u ( 1 ; 1 ; - 1 )
Donc Vect AM = t u
Vect AM = ( t ; t ; - t )
Vect AM ( x - 1 ; y + 2 ; z )
On fait un système :
t = x - 1
t = y + 2 t
- t = z
Si et seulement si,
x = t + 1
y = t - 2
z = - t
Vect BM' = kv
Vect BM' ( - 3k ; k ; 7 k )
... .
On fait le système :
x' = - 3 k
y' = k + 2
z' = 7 k + 4
Après je ne vois pas comment retomber sur ce qui est donnée par l'énoncé de l'exercice.
J'espère que vous pourrez m'apporter votre aide et m'éclairer.
Merci beaucoup d'avance et bonne journée
!
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