Orthocentre du triangle

par **Furi0u5** » 08 Oct 2006, 19:54

Bonsoir,

Je dois démontrer que ... mais je sais pas du tout comment commencer!
C'est terrible ces démonstrations, j'arrive jamais, même avec le cour!

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ABCD est un tétraèdre tel que AB est orthogonal à CD et AC est othogonal à BD. A se projète orthogonalement en H sur le plan (BCD).

=> Montrer que H est l'orthocentre du triangle BCD.

Voila la figure.

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Rien qu'un petit coup de pouce me suffirait...
Merci !

par **c pi** » 08 Oct 2006, 20:36

Bonsoir

Voilà quelquechose qui pourrait t'intéresser... :zen:

par **Furi0u5** » 08 Oct 2006, 20:58

Merci de la recherche, mais je vois pas ce que je dois en tirer.

Reprendre toutes ces questions pour justifier?

a) Démontrez que les droites (CD) et (BA') sont perpendiculaires. On note K le point d'intersection de (CD) et de (BA').
b) Démontrez que les droites (BC) et (DA') sont perpendiculaires ; déduisez-en que A' est l'orthocentre du triangle BCD.
c) Démontrez rapidement, en procédant comme aux questions a) et b), que le point B' est l'orthocentre du triangle ACD.
d) Démontrez que K appartient à la droite (AB').
Déduisez-en que les droites (AA') et (BB') sont sécantes.
e) Démontrez que les quatre hauteurs du tétraèdre sont concourantes.

par **Furi0u5** » 08 Oct 2006, 21:54

Oops.. "mais je vois PAS* ce que je doit en tirer" :hum:

par **c pi** » 08 Oct 2006, 22:52

Sous la question que tu as copiée et qui indique les grandes étapes de la démonstration, il y a plusieurs réponses, dont la suivante bien détaillée qu'il suffit d'adapter à ta figure :

réponse de Michel B. (posté le 02/02/2006 à 14:06) ID: (23897,4)

D'abord, les deux points fondamentaux qu'on va utiliser :
(I) Une droite perpendiculaire à un plan est orthogonale à toutes les droites de ce plan.
(II) Une droite orthogonale à deux droites non parallèles d'un plan est perpendiculaire à ce plan.

Toute la difficulté est de bien repérer les couples orthogonaux qui vont conduire à la conclusion. Je te fais le 1a) comme exemple.

1a)
$AA'\perp BCD$ donc $AA'\perp CD$ ; d'autre part
$CD\perp AB$.
Donc par (II) $CD$ perpendiculaire à $AB$ et $AA'$, est perpendiculaire au plan $ABA'$ et
par (I) $CD$ perpendiculaire au plan $ABA'$ est perpendiculaire à $BA'$.
Donc $K$ est le pied de la hauteur issue de $B$ sur $CD$.

par **Furi0u5** » 09 Oct 2006, 22:03

Ok, merci. ;)

par **Furi0u5** » 14 Oct 2006, 17:55

Corrigé

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