Orthocentre d'un triangle

[so213]

Bonjour, j'ai fais un exercice mais le problème c'est que cela ne correspond à la correction pourtant je ne vois pas où je me suis trompée :
On donne les points A(-1;2), B(2;5), C(3;2).
1. a) Construisez le triangles ABC
b) Construisez le point M, orthocentre de ce triangle.
2. a) Trouvez une équation de la hauteur issue de A.
b) Déduisez-en les coordonnées du point M.

Ce que j'ai fait :
2 a) Vecteur BC = 1;-3
Donc la droite BC : -3x-y+c=0
B(2;5) : -3*2-5+c=0 Ce qui nous donne -3x-y+11=0
Le vecteur normal de (BC) est n (-3;-1) et on sait que le vecteur normal de (BC) est égal au vecteur directeur de (AM), on a alors vecteur u (-3;-1) donc AM : -x+3y+c=0
A(-1;2) : 1 +6 +c=0
donc c = -7
et donc finalement (AM) : -x+3y-7 = 0
b)
-x+3y-7=0 (*3) (1)
-3x-y+11=0 (2)

-3x+9y-21=0 (1)
-3x-y+11=0 (2)

-3x+9y-21+3y+y-11=0
10y-32=0
y=32/10=3.2
dans (2) : -3x-3.2+11=0
-3x=3.2-11
x= -7.-3 = 2.6
Donc M(2.6 ; 3.2)

Maintenant voici la correction
[img][IMG]http://img15.hostingpics.net/thumbs/mini_463461image1.jpg[/img][/img]

MERCIII

[bolza]

Bonjour,

j'ai l'impression que tu as plutôt calculé les coordonnées du pied de la hauteur issu de A
plutôt que celles l'orthocentre du triangle ABC...

[so213]

Ah oui ? Comment le voyez-vous ?

[bolza]

Si j'ai bien suivi :

b)
-x+3y-7=0 (*3) (1) <---- équation de (AM)
-3x-y+11=0 (2) <----- équation de (BC)

-3x+9y-21=0 (1)
-3x-y+11=0 (2)

-3x+9y-21+3y+y-11=0
10y-32=0
y=32/10=3.2
dans (2) : -3x-3.2+11=0
-3x=3.2-11
x= -7.-3 = 2.6
Donc M(2.6 ; 3.2) <---- donc intersection de (AM) et (BC) = pied de la hauteur

MERCIII

[so213]

Mais du coup il fallait faire comment pour trouver M ?
Quelle partie de mon raisonnement est juste et lequel est HS ?

[bolza]

Le point M n'appartient pas à la droite BC, tes calculs ont l'air juste, mais ils ne calculent pas les coordonnées du bon point.

Dans un cadre générale, tu pourrais chercher l'équation de la droite (BM) (avec la même méthode que tu as trouvé l'équation de la droite (AM)) et ensuite calculer l'intersection de la droite (AM) et (BM).

Mais ici on a la chance que les points A et C aient la même ordonnés, donc en particulier (AC) est parallèle à l'axe des x. Donc BM qui perpendiculaire à (AC) est aussi perpendiculaire à l'axe des x, en particulier cela signifie que B et M ont la même abscisse. Donc comme M appartient à la droite (AM) si tu connais son abscisse
tu peux facilement trouver ses coordonnées grâce à l'équation de la droite (AM). (c'est ce qui est fait dans le corrigé)

[so213]

Comme l'énonce ne détaille aucun calcul je n'arrivais pas à trouver mon erreur, merci !

[so213]

en refaisant l'exo et en suivant vos indications je n'obtiens toujours pas comme la correction... j'ai trouvé que (AM) : -x+3y-7=0 et que (BM): -4x+8 , je résolve donc :
-x+3y-7=0 (1) (*4)
-4x+8=0 (2)

-4x+13y-28=0 (1)
-4x+8=0 (2)

(1)-(2)

12y-15=0
Et donc y=1,25
Et x = -3,25

Pq: j'ai fais exprès de ne pas me servir du x de M de la figure car je suis partit du principe que je ne dois m'aider de la figure c'est juste un moyen de vérifier que ce qu'on.a fait est juste

[bolza]

BM est parallèle à l'axe des ordonnées, donc en particulier cela signifie
que l'équation de la droite BM n'est pas de la forme y=ax+b, mais de la forme x=constante.

[so213]

Mais alors dans mes calcules j'aurais du trouver x=... pour l'équation pourquoi ça n'a pas été le cas ?

[bolza]

c'est que tu t'est trompé dans tes calculs pour la droite BM ,
comment est-tu arrivé à -4x +8 ?

[so213]

Vecteur (AC) (4;0) donc -4y+c=0
Grâce au point A(-1;2) -4x+8=0 et vecteur normal de (AC) = u (BM)
Donc (BM) -4x+c =0 et on a B(2;5) donc BM -4x+8=0

[bolza]

Oui alors attention quand tu écris :

(BM): -4x+8

l'équation de la droite BM n'est pas y=-4x+8, mais bien -4x+8 = 0 autrement dit x=2.

Ensuite :

-x+3y-7=0 (1) (*4)
-4x+8=0 (2) <------- ici le système d'équation est correct.

-4x+13y-28=0 (1) <----- ! attention c'est -4x+12y-28=0
-4x+8=0 (2) <--------------- tu peux directement trouver la valeur de x ici...

(1)-(2) <------------ et donc tu peux directement substituer x dans (1) au lieu de faire (1)-(2)

12y-15=0 <------------- Non (1)-(2) ça fait 12y-36=0
Et donc y=1,25 <-------------- et donc y=3
Et x = -3,25

En bleu ce qui est correct, en rouge ce qui n'est pas correct et en vert quelques conseils pour te simplifié la vie .


EDIT:

Pq: j'ai fais exprès de ne pas me servir du x de M de la figure car je suis partit du principe que je ne dois m'aider de la figure c'est juste un moyen de vérifier que ce qu'on.a fait est juste

Il ne s'agit pas forcément de lire l'abscisse de M sur la figure. Le fait que le point M ait la même abscisse que B est parfaitement justifié par le fait que (BM) est perpendiculaire à l'axe des abscisses.
En effet, si D est la droite perpendiculaire à l'axe des abscisses et passant par B, alors tous les points de
la droite D ont la même abscisse, donc en particulier le point M a la même abscisse que B.
(Mais attention quand même, ceci n'est vrai que parce que le repère est orthogonal ^^)

[so213]

J'ai tout compris, merci