Nombre premier

[Zakaria-Ellaoui]

Salut ,
Je reposte mon exo ,
Soit p un nombre premier positif sachant que p EST DIFFÉRENT DE 3
Montrer que 8p²+1 n'est pas un nombre premier

[aeon]

8p^2 + 1 est un multiple de 3, donc ce n'est pas un nombre premier.

[Zakaria-Ellaoui]

Comment on sait que 8p²+ 1 est un multiple de 3 ??

[Huppasacee]

Utilise les congruences
p est congru à 1 ou à 2 modulo 3 ( dire pourquoi )
ensuite utilise les propriétés de la congruence

[Zakaria-Ellaoui]

j'ai pas une seule idée de ce que ca peut etre une congruence j'ai pas encore etudié ca je crois ^^

[aeon]

=> Il faut utiliser les modulo. En particulier le modulo par rapport à 3.

[rene38]

Et quand on n'a pas étudié les congruences modulo ..., on traduit

"p est congru à 2 modulo 3" par "p = 3k + 2, k entier"

[Huppasacee]

Le reste de la division de p par 3 ne peut être que 1 ou 2 , sinon il serait .....

alors , il s'écrit 3q + 1 ou 3q + 2
Dans chacun des 2 cas , tu calcules 8p² + 1 , c'est à dire dans le premier cas

8(3q+1)²+ 1

et tu essaies de trouver le reste de la division par 3 , puis tu conclus

pareil pour le deuxième cas

[Zakaria-Ellaoui]

Et les modulos c'est quoi ?

[aeon]

On dit que 16 est congru à 1 modulo 3 parce que
16 divisé par 3 = 5 reste 1.

Pour ton exo, p est un nombre premier différent de 3, donc il n'est pas divisible par 3, donc il s'écrit
soit : p = 3k+ 1
soit : p = 3k +2

=> à remplacer dans l'expression...

[Zakaria-Ellaoui]

Au fait ce que j'ai pas compris c'est pourquoi p=3k+1 ou 3k+2 ???

[aeon]

Tout nombre positif peut se mettre sous la forme :
- soit "3k" (pour k=0 ça donne 0, pour k=1 ça donne 3, ...)
- soit "3k + 1" (pour k=0 ça donne 1, pour k=1 ça donne 4, ...)
- soit "3k + 2" (pour k=0 ça donne 2, pour k=1 ça donne 5, ...)

Comme p est un nombre premier différent de 3, j'enlève la forme "3k" (0, 3, 6, 9, ... ne sont pas des nombres premiers différents de 3).

Il ne reste que les formes :
- soit 3k+1
- soit 3k+2

[Antho07]

Pour completer ce qui a ete dit:

On prend l'entier p.
On effectue la division euclidienne de p par 3 (celle que l'on apprend en primaire avec le quotient et le reste).

Alors pour le reste on a que 3 possibilités : 0, 1 ou 2.
puisque si le reste est plus grand on peut encore poursuivre la division.

Donc en divisant p par 3 on obtient un quotient k et un reste qui est soit 0 soit 1 soit 2.

Par conséquent
p s'ecrit forcement
soit p=3k
soit p=3k+1
soit p=3k+2

[Zakaria-Ellaoui]

Ce qui nous donne 8(3k+1)²+1 Ou 8(3k+2)² +1 c'est ca ?

[aeon]

oui, mais faut développer un peu maintenant.

[Zakaria-Ellaoui]

Ok donc j'aurais 63k²+ 1 et 63 k² +4 Et Apres ??

[Huppasacee]

63k²+ 1 et 63 k² +4

tu es sûr ?

[aeon]

Comment as-tu développé 8*(3k+1)²+1 et 8*(3k+2)² +1 ????

Identités remarquables pour l'intérieur des parenthèses !!
(a+b)² = a² + 2ab + b² !!

J'ai l'impression qu'il te manque quelques bases pour résoudre ce genre d'exercice.

[Huppasacee]

Les tables de multiplication !!!
et les identités remarquables !!!!!!!!!!

[leon1789]

Salut ,
Je reposte mon exo ,
Soit p un nombre premier positif sachant que p EST DIFFÉRENT DE 3
Montrer que 8p²+1 n'est pas un nombre premier

8p²+1 = 9p² +1-p² = 9p² + (1-p)(1+p)

Or parmi 3 nombres consécutifs, comme (p-1) (p) (p+1), il y a un et un multiple de 3.
(qu'est qu'on peut utiliser souvent cette évidence !!
--> parmi N nombres consécutifs, il y a un et un seul multiple de N)

Or 3 ne divise pas p, donc 3 divise (1-p) ou (1+p)
Or 3 divise 9
donc 3 divise 8p²+1