[Combinatoire] Nombre de diagonales dans un n-gone convexe

[Zweig]

Bonjour,

Je débute en combinatoire et je voulais savoir si mon raisonnement, et par la même mon résultat, était correct :

Déterminer le nombre de diagonales dans un -gone convexe.

Le but de l'exercice est de déterminer le nombre de couples possibles, où les sont les sommets du -gone.

Nous avons choix pour . En ce qui concerne , remarquons à l'aide d'un dessin que l'indice ne peut être , et . Cela nous laisse donc choix. Ainsi il existe couples possibles. Or la diagonale est la même que . Par conséquent

Merci d'avance.

[bombastus]

Bonjour,

oui, cela me semble correct

[Sa Majesté]

Une autre façon de raisonner est par récurrence
Pn points donnent dn diagonale
Si on ajoute un Pn+1ème point, on ajoute :
1) n-2 diagonales : celles qui lient Pn+1 aux n autres points sauf les 2 points voisins de Pn+1
2) 1 diagonale : celle qui lie les 2 points voisins de Pn+1 (dans le n-gone c'était un côté, qui devient une diagonale du n+1-gone)
D'autre part toutes les diagonales du n-gone sont des diagonales du n+1-gone
Donc


On somme et après simplification on trouve n(n-3)/2

[Ruch]

Une solution plus simple à mon sens: choisir une diagonale, c'est choisir 2 côtés et enlever les diagonales reliant 2 côtés consécutifs: il y en a n.

D'où dn = (2 parmi n ) - n

[Zweig]

Je n'ai pas trop compris ta solution Ruch ...

[Zweig]

Non en fait c'est bon !