Diagonales d'un polygone convexe

[midnight13]

Bonjour à tous , j'ai du mal à faire un exercice de mon dm .Merci d'avance pour l'aide que vous m'apporterai

Pour tout entier m;)3 , on pose vn le nombre de diagonales d'un polygone ayant m sommets .

1)Soient un entier m;)3 et un polygone B1B2...Bm+1.

a)Quelles sont les diagonales de B1B2...Bm+1 qui ne sont pas des diagonales de B2...Bm+1 ?

b)Démontrer que v[SIZE=1]n+1 =v[/SIZE]n +n-1.Pour tout entier m;)4 , déduire que vn=vn-1+n-2

[siger]

Bonjour,

Il y a un melange des indices: a priori tous les indices sont egaux a m (pas de n!)

a/ ce sont les diagonales qui partent de B1: il y en a donc .....un nombre N

b/au total il y aura donc N diagonales par sommet soit un total V(m)=m*N/2 (divisé par deux pour tenir compte du fait que la diagonale B(p)B(p+1) est la même que la diagonale B(p+1)B(p))

Il suffit ensuite de veifier que V(m+1) = V(m)+m-1......

[Tiruxa]

On peut trouver la formule de récurrence directement, ce qui semble être attendu par l'énoncé.

En effet les diagonales supplémentaires (en passant de m sommets à m+1 sommets) sont celles qui concernent B1, c'est à dire qui relient B1 à B3, puis à B4, B5,...,Bm soit m-2 diagonales mais aussi B2Bm+1 qui était un côté dans le polygone B2B3...Bm+1 et qui devient une diagonale.

On a donc m-1 diagonales supplémentaires en passant de m sommets à m+1 sommets
d'où V(m+1)=V(m)+m-1.

[Darkwolftech]

Bonjour,

Il y a un melange des indices: a priori tous les indices sont egaux a m (pas de n!)

a/ ce sont les diagonales qui partent de B1: il y en a donc .....un nombre N

b/au total il y aura donc N diagonales par sommet soit un total V(m)=m*N/2 (divisé par deux pour tenir compte du fait que la diagonale B(p)B(p+1) est la même que la diagonale B(p+1)B(p))

Il suffit ensuite de veifier que V(m+1) = V(m)+m-1......

Salut, j'ai regardé vite fait ta réponse et quelque chose me semble bizarre ...
Pour moi B(p)B(p+1) et B(p)B(p-1) ne sont pas des diagonales, ce sont des côtés !
Quand tu dis il y a N diagonales par sommet, c'est faux ! Regarde dans un carré ... :hum:

Lucas

EDIT : Grillé par Tiruxa :ptdr:

[siger]

Re

Exact, autant pour moi!
disons les diagonales BiBj et BjBi......

nombre de sommets m
nombre de diagonales par un sommet N = m-3 (N n'etait pas le nombre n!!!)
d'ou nombre total V(m) = m(m-3)/2 et par suite V(m+1) = V(m) + m-1