Minimum d'une expression

[t.itou29]

Bonsoir,
Je dois trouver le minimum de:
avec .
Vu l'expression j'ai pensé à poser et avec mais à part apporter un peu de symétrie j'ai pas l'impression que ça mène à grand chose et je vois pas comment faire autrement...

[Ben314]

Tu as essayé "à la bourrin" :
- Pour u fixé, la fonction (dépendant de v uniquement) aura ces extrémums lorsque la dérivée s'annule.
- Idem en fixant v et en dérivant par rapport à u.

Sinon, à la moins bourrin, ton truc revient à chercher la distance minimale entre la courbe de (u>0) qui est un 1/4 de cercle et (v>0) qui est une hyperbole équilatère.

Graphiquement parlant, la solution "saute aux yeux"

[t.itou29]

Tu as essayé "à la bourrin" :
- Pour u fixé, la fonction (dépendant de v uniquement) aura ces extrémums lorsque la dérivée s'annule.
- Idem en fixant v et en dérivant par rapport à u.

Sinon, à la moins bourrin, ton truc revient à chercher la distance minimale entre la courbe de (u>0) qui est un 1/4 de cercle et (v>0) qui est une hyperbole équilatère.

Graphiquement parlant, la solution "saute aux yeux"

Comme dans un exemple juste avant l'exercice ils utilisaient la substitution avec des fonctions trigos je me suis lancé bêtement dans cette voie mais c'est vrai que c'est bourrin et inutile. Je comprends en dérivant par rapport a u puis par rapport à v mais je vois trop pourquoi cela revient à chercher la distance minimale entre le cercle et l'hyperbole, je comprends que ça minimise le deuxième terme mais qu'en est-il du premier ?

[Ben314]

Un point sur la courbe de , c'est un point de la forme
et un point sur la courbe de c'est un point de la forme

Or, la distance entre deux points (x,y) et (x',y') du plan, c'est

Enfin, vu que la fonction "racine" est croissant, minimiser "racine(truc)", c'est la même chose que minimiser "truc".

Attention à ne pas confondre ça avec le truc bien plus classique correspondant à minimiser f(t)-g(t) qui correspnd à trouver la distance minimale mesurée à la verticale entre deux courbes.

Sinon, le graphique te aussi que, si tu veut que ça se simplifie "miraculeusement", il faut effectivement prendre , mais que par contre, il est plus astucieux de prendre (vérifie que ça marche super bien puis trouve le "pourquoi" sur le graphique)

[t.itou29]

Un point sur la courbe de , c'est un point de la forme
et un point sur la courbe de c'est un point de la forme

Or, la distance entre deux points (x,y) et (x',y') du plan, c'est

Enfin, vu que la fonction "racine" est croissant, minimiser "racine(truc)", c'est la même chose que minimiser "truc".

Attention à ne pas confondre ça avec le truc bien plus classique correspondant à minimiser f(t)-g(t) qui correspnd à trouver la distance minimale mesurée à la verticale entre deux courbes.

Sinon, le graphique te aussi que, si tu veut que ça se simplifie "miraculeusement", il faut effectivement prendre , mais que par contre, il est plus astucieux de prendre (vérifie que ça marche super bien puis trouve le "pourquoi" sur le graphique)

Ah oui d'accord ! Effectivement j'avais confondu avec f(t)-g(t) :mur:
Je vais essayer avec la fonction cotan (comme fonction trigo de 0;pi/2 dans R+ je "connaissais" seulement tan...).

[t.itou29]

Je n'arrive pas à simplifier avec le changement de variable, faut-il que je développe ? Ca donne quelque chose d'assez moche si c'est la cas

[Ben314]

Si c'est de celui là dont tu parle :

..., mais que par contre, il est plus astucieux de prendre (vérifie que ça marche super bien puis trouve le "pourquoi" sur le graphique)

Effectivement, ça ne marche pas "super bien" contrairement à ce que j'ai affirmé (sans même vérifier...)
J'étais persuadé que ça marcherais vu qu'il est clair sur un dessin que, pour fixé, le qui minimise le truc, c'est , mais en fait par le calcul, le moins qu'on puisse dire, c'est que ça ne saute pas aux yeux...

Donc, par le calcul, ce n'est sans doute pas la meilleure méthode...

[chan79]

Salut
En suivant l'idée de Ben314, et en rédigeant sans doute un peu vite;
si on pose et
Soit A(a,g(a))
L'équation de la normale en A à la courbe de g est
Cette normale doit passer par O puisque la courbe de f est un demi-cercle de centre O.
Il faut résoudre
on trouve a=3 et A(3;3)
On en déduit les coordonnées du point B correspondant de la courbe de f: B(1;1)
LA distance minimale est
L'expression initiale est supérieure ou égale à 8.

[t.itou29]

Salut
En suivant l'idée de Ben314, et en rédigeant sans doute un peu vite;
si on pose et
Soit A(a,g(a))
L'équation de la normale en A à la courbe de g est
Cette normale doit passer par O puisque la courbe de f est un demi-cercle de centre O.
Il faut résoudre
on trouve a=3 et A(3;3)
On en déduit les coordonnées du point B correspondant de la courbe de f: B(1;1)
LA distance minimale est
L'expression initiale est supérieure ou égale à 8.

Merci, je crois que j'ai un peu pres compris sauf une chose : pourquoi le "chemin" le plus court doit etre normal à g ? (ça parait logique mais comment le montrer?)

[chan79]

Merci, je crois que j'ai un peu pres compris sauf une chose : pourquoi le "chemin" le plus court doit etre normal à g ? (ça parait logique mais comment le montrer?)

J'essaie autrement. Comme les points du demi-cercle sont tous à la même distance de O, il suffit de chercher le point de l'hyperbole le plus proche de O
O(0;0) B(x;9/x)

OB²=x²+81/x²
En écrivant que la dérivée est nulle, on arrive à x;)=81
donc B(3;3)

[Ben314]

N'empêche que, dans tout les cas, j'ai bien l'impression que si on ne fait pas appel à la géométrie (par exemple pour dire que sur le dessin çi dessus, c'est clairement le point A du cercle situé sur [OB] qui minimise la distance [AB]) ben c'est pas mal la m... comme truc.

Bon, évidement, on peut une bonne fois pour toute montrer (par le calcul) que si on a une courbe paramétrée régulière (dérivée non nulle) et que l'on cherche le point de la courbe le plus proche d'un point extérieur B donné, il faut chercher parmi les points de la courbe dont la normale passe par B...

Ça me conforte dans l'idée que, sans géométrie, on fait pas grand chose... :zen: