Trouver le minimum d'une fonction

par **Teletubiies** » 03 Oct 2010, 14:14

Bonjour, j'ai un dm de math pour mardi et je suis bloqué, j'arrive vraiment pas a trouver le minimum, de la fonction suivante :
P(x) = 2x + 32/x
Si quelqu'un pouvait m'aider merci.

par **oscar** » 03 Oct 2010, 14:43

Bjr

P(x) = ( 2x² +32)/x

dom R / {0}

Tu calcules la dérivée

par **Teletubiies** » 03 Oct 2010, 14:59

J'ai pas encore vu les dérivée... :/

par **Olympus** » 03 Oct 2010, 15:12

Salut !

T'es sûr que tu n'as pas plutôt

( pour un maximum global ) ou

( pour un minimum global ) ?

Parce que ta fonction n'a pas de minimum ou maximum global sur

.

par **Teletubiies** » 03 Oct 2010, 15:19

Ben je sais pas enfaite, mon exo c'est :
On s'intéresse a un rectangle d'aire égale a 16 cm²
Déterminer les dimensions du rectangle ayant le plus petit périmètre.
Toute affirmation sera démontrer.

Donc j'ai trouver longueur : x Largueur : y
A = xy = 16
y = 16/x
P = 2x + 2y
P = 2x + 2(16/x)
P = 2x + 32/x

Et la je suis bloqué je sais pas quoi faire :/

par **Ericovitchi** » 03 Oct 2010, 15:23

ta fonction est la somme de 2 fonctions, l'une qui est croissante 2x et l'autre qui est décroissante 32/x

le minimum va être quand elles se coupent.

C'est une caractéristique des droites et des hyperboles mais ça n'est pas vrai dans tous les cas.

Donc je ne sais pas, sans dérivée, il te reste à étudier le signe de f(x) - le minimum et montrer que c'est toujours positif peut-être.

par **Ericovitchi** » 03 Oct 2010, 15:24

teletubies, ne resserres pas dans un sujet existant. Si tu as un nouveau sujet, crées une nouvelle discussion.

par **Olympus** » 03 Oct 2010, 16:04

Ok,

est strictement positif .

On a

( facile à vérifier ) .

Donc en mettant

et

on obtient :

Donc 16 est ton minimum recherché . On va voir pour quelle valeur de

il est atteint .

Pour cela, tu résous l'équation

.

par **Ericovitchi** » 03 Oct 2010, 16:28

ha oui, bien trouvé Olympus !

par **Olympus** » 03 Oct 2010, 16:49

Les inégalités "olympiques" ne sont finalement pas si inutiles que ça :zen:

( bon ok, c'est juste une pauvre application d'AM-GM à 2 variables sur un pauvre exercice de 2nde :briques: )

par **hammana** » 27 Mai 2012, 21:18

Olympus a écrit:Les inégalités "olympiques" ne sont finalement pas si inutiles que ça :zen:

( bon ok, c'est juste une pauvre application d'AM-GM à 2 variables sur un pauvre exercice de 2nde :briques: )

Il est bon de connaître deux propriétés (universellement ?) connues
1 ° - Si deux nombres x, y ont un produit constant leur somme est minimum quand ils sont égaux
2 ° - Si deux nombres x ,y ont une somme constante leur produit est maximum quand ils sont égaux. (Ces deux popriétés peuvent se déduire l'une de l'autre)
Appelons "s" la somme x+y, et "e" l'écart en plus ou en moins de chaque terme par rapport à la demi somme, on a x=s/2+e et y=s/2-e (on a bien x+y=s). Appelons p le produit x.y,
(s/2+e)(s/2-e)=s*s-e*e ou "p=s*s-e*e" qui peut s'exprimer par
"Le produit de deux nombres est égal au carré de leur moyenne moins le carré de leur écart par rapport à la moyenne."
Géométriquement cela signifie p.ex. que si on a un fil de fer, le rectangle de surface maximum qu'on peut faire avec ce fil est le carré. Si on est libre de choisir la forme, ce serait un cercle. Cela me paraît intuitif. La reine Didon a dû metre cela en pratique quand elle a délimité la ville de Carthage.

En résumé 2x et 32/x ont un produit constant, leur somme est minnimum pour2x=32/x

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