[TS] Méthode D'Aitken, pour se faire plaisir

[Anonyme]

Bonjour,

Je suis en terminal S et Nous avons vu la vitesse de convergeance, et
les méthodes d'accélérer la convergence d'une suite dans le cadre du
tronc commun.
Parmis ces méthodes nous avons aussi découvert la méthode d'Aitken
(petit rappel ici si besoin est Rappel
..http://rfv.insa-lyon.fr/~jolion/ANUM/node15.html

Mais maintenant le prof nous pose une question ouverte comme nous
risquons souvent d'en avoir au Bac.
C'est la suivante :

Prouver que lorsque la vitesse de convergence d'une suite est
différente de 1 alors la méthode d'Aitken accèlère la convergeance

Et la, je n'y arrive vraiment pas. Je n'ai aucune idée simplement pour
le point de départ. J'ai bien essayé de me rapporter au définition
mais cela ne m'aide pas trop. Si quelqu'un avait une idée pour m'aider
a partir ou si quelqu'un aurait une idée de la solution je
l'accepterait avec plaisir.

Merci par avance.

Bonne soirée

[Anonyme]

On 12 Jan 2005 14:34:26 -0800, benjamin73@gmail.com wrote:

>Bonjour,
>
>Je suis en terminal S et Nous avons vu la vitesse de convergeance, et
>les m=E9thodes d'acc=E9l=E9rer la convergence d'une suite dans le cadre du
>tronc commun.
>Parmis ces m=E9thodes nous avons aussi d=E9couvert la m=E9thode d'Aitken
>(petit rappel ici si besoin est Rappel
>.http://rfv.insa-lyon.fr/~jolion/ANUM/node15.html
oui, mais faut faire attention l'écriture , même si l'auteur prévient,
est un peu osée
car lim e_(n+1)/e_n=A ne signifie pas e_(n+1)=A*e_n
>Mais maintenant le prof nous pose une question ouverte comme nous
>risquons souvent d'en avoir au Bac.
souvent, souvent c'est vite dit
en préparation ca fait pas de mal
mais le jour du bac ca pourrait faire trop mal
>C'est la suivante :
>
>Prouver que lorsque la vitesse de convergence d'une suite est
>diff=E9rente de 1 alors la m=E9thode d'Aitken acc=E8l=E8re la convergeance
>
>Et la, je n'y arrive vraiment pas. Je n'ai aucune id=E9e simplement pour
>le point de d=E9part. J'ai bien essay=E9 de me rapporter au d=E9finition
>mais cela ne m'aide pas trop. Si quelqu'un avait une id=E9e pour m'aider
>a partir ou si quelqu'un aurait une id=E9e de la solution je
>l'accepterait avec plaisir.
>
>Merci par avance.

évidemment dans ce qui suit il peut y avoir des erreurs d'indicage...

soit x_n une suite cv vers l
(et les x_n doivent être diff de l)

on suppose lim(x_(n+1)-l)/(x_n-l)=k diff de 1

on pose x'_n=l'accéléré de x_n par
aitken=x_n-(x_(n+1)-x_n)^2/((x_(n+2)-x_(n+1))-(x_(n+1)-x_n))
x'_n=(x_n*x_(n+2)-(x_(n+1))^2)/(x_(n+2)-2*x_(n+1)+x_n)

il s'agit de montrer que lim x'_n=l et mieux en fait :
lim(x'_n-l)/(x_n-l)=0

pas commode du tout , pas du niveau TS (ce qui ne veut pas dire que ca
ne peut pas se faire avec des outils TS)

si tu as envie de lire ....

je pose
A_n=(x_(n+2)-x_(n+1))/(x_(n+1)-x_n)
alors
1) x'_n=x_n-(x_(n+1)-x_n)/(A_n-1)
facile
2) lim (x_(n+1)-l)/(x_(n+1)-x_n)=1/(1-1/k)=k/(k-1) (licite car k pas 1
)
faire apparaître en bas 2 diff avec l et diviser le bas et le haut
par le bas
3) de même lim (x_n-l)/(x_(n+1)-x_n)=1/(k-1)
ou on remarque que ce rapport est le précedent multiplié par
(x_n)-l)/(x_(n+1)-l) dont la im est 1/k
4) lim A_n= k
écrire x_(n+1)-l=(k+e1)(x_n-l)
et x_(n+2)-l=(k+e2)(x_(n+1)-l)
avec e1 et e2 de lim=0
on en déduit
que
A_n=k+e2*le rapport du 2) -e1*le rapport du 3)
et ainsi lim A_n=k+0*la lim du 2-0*la lim du 3=k
5) le 4) prouve que lim x'_n =l-0/(k-1)=l
et en fin
6)(x'_n-l)/(x_n-l)=1-((x_(n+1)-x_n)/(x_n-l))/(A_n-1)
cf le 3 et le 4
on a lim (x'_n-l)/(x_n-l)=1-(k-1)/(k-1)=0



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http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
( olympiades mathématiques 1ère S )
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