Mesure principale

[yaboo]

Bonjour,

Comment calculer la mesure principale de 50 radians ?

[Ericovitchi]

En enlevant un nombre entier de fois 2pi jusqu'à ce que le résultat soit entre -pi et pi.

[paquito]

50/2pi=7,9577...., 09577...*2pi=6,0177....>pi donc on enlève 2pi et 6,0177..-2pi=-0,265482..... qui est la mesure principale d'un angle de 50 radians.

[yaboo]

Je suis désolé, je n'ai pas très bien compris... :(

[paquito]

50/2pi=7,9577..signifie que 50=7*2pi+0,95577...*2pi; 0,09557*2pi est une autre mesure en radians de 50 radians mais le calcul donne 6,0177...Qui n'est pas dans [-pi. pi] donc il faut enlever 2pi pour trouver
-0,265482...qui est bien dans le bon intervalle.

[Tiruxa]

Je suis désolé, je n'ai pas très bien compris...

On cherche un entier relatif k tel que :

-pi < 50 +2k pi <= pi
ou
-pi -50 < 2k pi <= pi - 50
et en divisant tout par 2 pi
-0.5 -50/(2pi) < k <= 0.5 -50 /(2pi)
Les valeurs approchées des deux bornes de l'encadrement -8,46 et -7,46 donne comme unique solution k = -8
Donc la mesure principale est 50-16pi dont une valeur approchée est -0,265482.

[yaboo]

Merci pour vos réponses, je pense avoir compris :) mais, pour 0,95577*2pi j'ai 6,00528... Aurais-je oublie quelque chose ?

[paquito]

Merci pour vos réponses, je pense avoir compris mais, pour 0,95577*2pi j'ai 6,00528... Aurais-je oublie quelque chose ?

L'écart provient du fait que tu as dû arrondir(la calculatrice travaille avec 13 décimales);

Tu tapes 50/2pi=7,95577....puis tu enlève 7 et tu multiplies par 2pi, comme ça tu utilises toutes les décimales de la calculatrice; essaie, tu vas retrouver mon résultat. Dans le cadre d'un calcul, on évite d'arrondir un résultat intermédiaire, mais cela n'est pas bien grave.

[yaboo]

Ah mais oui je suis bête ! Merci encore ! Je trouve ce chapitre vraiment dur, je n'aurai jamais pensé a cela par moi-même...

[yaboo]

Double poste, mais je trouvais inutile d'ouvrir un nouveau sujet pour une question sur le même sujet.
Est-ce que mon raisonnement est juste ?
Je dois calculer cos(x) grâce à sin(x) = 0.75 (je connais la formule cos²x + sin²x = 1 mais je dois faire d'une autre manière)

Donc :
arcsin(x) = 0.848062... X 2Pi radians
= 5.3285311...
Je retire 2Pi pour avoir la mesure principale : -0.954654...
Je prends le cos de ce résulat

[paquito]

Arcsin(x) te donne la mesure de l'angle dans [-pi/2;pi/2], il faut donc que tu saches si cos(x) est>0 ou<0; si par exemple, on te donne sin(x)=1/2 et cos(x)<0 tu vas avoir arcsin(1/2)=pi/6 mais cos(x)=
-V3/2 et x=pi-pi/6=5pi/6. les fonctions arcsin et arccos sont définies sur un demi-cercle trigonométrique, donc il faut faire gaffe. Sinon ton raisonnement n'est pas bon. Arcsin(x) te donne toujours une mesure principale qui correspond à 2 possibilités pour cos(x).Si tu connais le sin, il y a 2 possibilitées pour le cos et vice et versa....

[yaboo]

D'accord. Alors supposons ici que je veuille trouver les deux résultats. (positif et négatif)
La mesure principale est déjà à 0.848062... X 2Pi radians (<- dois-je laisser ici les 2Pi ?).
Je n'ai plus qu'à faire cos de ce résulat et de prendre ensuite son inverse pour avoir mes deux résultats ?

[Tiruxa]

[quote="yaboo"]D'accord. Alors supposons ici que je veuille trouver les deux résultats. (positif et négatif)
La mesure principale est déjà à 0.848062... X 2Pi radians (0 celui de pi-t est <0.

La fonction arc sin te fournit la valeur de t , ici 0.848062...
l'autre est donc pi-t = pi - 0.848062...= 2.293530575...

Bien sûr on peut ajouter 2kpi (k dans Z) aussi bien à t qu'à pi-t.

[paquito]

Tu connais sin(x) =0,75 (on aura aussi sin(pi-x)=0,75) et tu cherche cos(x); arcsin(0,75) te donnera l'unique réel de [-pi/2; pi/2] qui vérifie cette relation (la fonction arcsin est définie de [-1; 1] dans
[-pi/2; pi/2]) tu peux taper directement cos(arcsin(0,75) (cos(sin^-1(0.75)) qui sera obligatoirement positif, mais -cos(arc sin(0,75) est l'autre possibilité qui correspond à pi-x. Donc tu un dois avoir un renseignement supplémentaire pour savoir si cos(x) est>0 ou <0. Sinon, tu ne cherche pas une mesure d'angle, donc les +2kpi ne servent à rien.

[yaboo]

Oui, c'est parce que mon prof a fait quelque chose avec les kpi que ça m'embrouille... L'exercice qu'il nous a donne c'était trouver cos x avec sin x = -0,1 et pi/2Donc selon lui il faut utiliser arcsin puis diviser la valeur par pi... Mais ensuite je n'ai rien compris...

[Ericovitchi]

heu non, il suffit d'utiliser cos²x+sin²x=1 donc cos²x=1-sin²x=1-(-0,1)²=0.99
Après il faut prendre la racine mais on a le choix entre la racine positive et la racine négative. C'est là où l'on se sert de l'intervalle où est x.
si pi/2si pi/2

[paquito]

Oui, c'est parce que mon prof a fait quelque chose avec les kpi que ça m'embrouille... L'exercice qu'il nous a donne c'était trouver cos x avec sin x = -0,1 et pi/2<x<5pi/2
Donc selon lui il faut utiliser arcsin puis diviser la valeur par pi... Mais ensuite je n'ai rien compris...

Il y a un problème! si on est en mode degré, on multiplie par pi/180 pour avoir une mesure en radians; diviser par pi, c'est nouveau!
De plus 5pi/2-pi/2=2pi, ce qui n'avance à rien.Vu ton énoncé la réponse est cos(arcsin(-0,1)) ou son opposé, ce qui donne cos(arcsin(-0,1))=0,994987....ou cos(x)=-0,994987...
L'énoncé ne te permet pas de faire un choix entre les 2! avec x= pi-arcsin(-0,1).

[yaboo]

heu non, il suffit d'utiliser cos²x+sin²x=1 donc cos²x=1-sin²x=1-(-0,1)²=0.99
Après il faut prendre la racine mais on a le choix entre la racine positive et la racine négative. C'est là où l'on se sert de l'intervalle où est x.
si pi/2<x<3pi/2 le cosinus est négatif et cos x = - (0.99) ~ - 0.99
si pi/2<x<5pi/2 le cosinus est positif et cos x = + 0.99

Mon prof ne veut pas qu'on utilise cette méthode mais la sienne malheureusement...

Il y a un problème! si on est en mode degré, on multiplie par pi/180 pour avoir une mesure en radians; diviser par pi, c'est nouveau!
De plus 5pi/2-pi/2=2pi, ce qui n'avance à rien.Vu ton énoncé la réponse est cos(arcsin(-0,1)) ou son opposé, ce qui donne cos(arcsin(-0,1))=0,994987....ou cos(x)=-0,994987...
L'énoncé ne te permet pas de faire un choix entre les 2! avec x= pi-arcsin(-0,1).

Je crois qu'en faisant arcsin de -0,1, on obtient une mesure en radians (ici ~-0,100 radians). Ensuite, si l'on divise ce nombre par Pi, c'est comme ce que tu m'as expliqué plus haut, on obtient -0,100 = -0,0319Pi radians (c'est donc le même résultat mais avec un multiple de Pi). Mais alors l'exercice serait impossible ?

J'aimerais m'entraîner, et il y a tout une page avec des exos de ce genre.
Le suivant est-il possible ? :

cos x = et
Trouver sin x.

Donc, avec la méthode précédente, je fais d'abord arccos.
arccos (4/7) 0,9625 rad OU 2Pi - arcos (4/7) 5.32 rad
Je divise par Pi :;) 0,306Pi rad OU 1.69Pi
Jusque là, ok, j'ai bien compris. Sauriez-vous comment continuer ?

[Tiruxa]

Il suffit de regarder sur le cercle quel est le signe du sinus de x.
l'intervalle [3pi;4pi] correspond au demi cercle inférieur donc sin x <0
c'est donc sin(-arcos(4/7))=-0.8206....

Un conseil par cette méthode, évite les arrondis successifs pour une meilleure précision du résultat final.

[paquito]

Mon prof ne veut pas qu'on utilise cette méthode mais la sienne malheureusement...




Je crois qu'en faisant arcsin de -0,1, on obtient une mesure en radians (ici ~-0,100 radians). Ensuite, si l'on divise ce nombre par Pi, c'est comme ce que tu m'as expliqué plus haut, on obtient -0,100 = -0,0319Pi radians (c'est donc le même résultat mais avec un multiple de Pi). Mais alors l'exercice serait impossible ?

J'aimerais m'entraîner, et il y a tout une page avec des exos de ce genre.
Le suivant est-il possible ? :

cos x = et
Trouver sin x.

Donc, avec la méthode précédente, je fais d'abord arccos.
arccos (4/7) 0,9625 rad OU 2Pi - arcos (4/7) 5.32 rad
Je divise par Pi :;) 0,306Pi rad OU 1.69Pi
Jusque là, ok, j'ai bien compris. Sauriez-vous comment continuer ?

Diviser par pi te donne des résultat incohérents; à la limite, on dise par pi puis on multiple par 180 pour avoir une mesure en degré,mais divisé par pi, c'est comme si tu divisait par 5, cela donne n'importe quoi.

Ce que tu aurais le droit de faire, c'est ajouter ou retrancher un multiple de 2pi, ce qui ne sert à rien ici; si tu n'est pas encore convaincu, cos0,9625=0,5714 alors que cos0,306=0,953546 (il n'y a aucun rapport!)


Ce qu'il faut faire; tout d'abord on sait que 3pi<x<4pi, tu vérifie avec un cercle trigonométrique que l'on a alors sin(x)<0; donc tu fais directement sin(x)=-sin(arccos(4/7)=-0,8206518066.....

Faire directement sin(arccos(x) te permet d'utiliser toutes les décimales de la calculatrice.

Moralité, la division par pi n'a aucun sens; sinon, fait -0,8206518066²+(4/7)²; tu doit trouver 1. (vérification)

quand à x, tu obtiens d'abord -arccos(4/7)=-0,9625507479....en mesure principale; tu doit ajouter 4pi pour l'avoir dans [3pi; 4pi] soit x=11,60381987...