Mélange de probabilités et de suites...

[jojo130194]

Bonjour, c'est encore moi, pour un dernier exercice...

Je ne comprends pas grand chose aux suites, alors j'ai énormément de difficultés pour celui-ci...

Voici l'énoncé :

"Une très grande urne contient initiallement une boule blanche et une boule noire.
On effectue des tirages successifs de la manière suivante : après chaque tirage, on remet la boule tirée dans l'urne, et on ajoute une boule blanche.
On note Pn la probabilité de tirer une boule blanche au tirage ( n = 1 ; 2 ; 3 ; ... ).

1. Montrez que Pn =

2.a. Montrez que la suite (Pn) est croissante.
b. La croissance de (Pn) était prévisible, compte tenu de la composition de l'urne. Pourquoi ?
c. La suite (Pn) est-elle arithmétique ?

3. Trouvez tous les naturels tels que : "

Pour la question 1, je ne sais pas comment montrer cela... Je constate que, lorsque n=1, p = 1/2, lorsque n=2, p = 2/3, lorsque n=3, p = 3/4, et ainsi de suite... Ce qui correspond à Pn = , mais je doute que ce soit la bonne façon de le montrer... Alors comment faire ?

Pour la question 2.a., toujours pareil, comme je l'ai dit dans la question la, je constate que, lorsque n=1, p = 1/2, lorsque n=2, p = 2/3, lorsque n=3, p = 3/4, et donc que lorsque n augmente, la probabilité augmente aussi... Donc la suite est constante... Mais comment faire pour le montrer ??

Pour la question 2.b., je ne vois pas comment expliquer le "pourquoi"... C'est évident, mais comment l'expliquer... ?

Pour la question 2.c., par contre, je n'ai aucune idée de ce qu'il faut faire, et j'aurais vraiment besoin d'aide...

De même pour la question 3, je ne vois pas du tout ce qu'il faut faire...

Merci à tous ceux qui pourront m'aider ! :happy2:

[Le Chaton]

Hellow,

tu as un exo sur des suites et des probas. Tu dis ne pas bien comprendre les suites ... alors pense probas

Au n ième tirages combien as tu de boules blanches? Combien as tu de boules en tout ? Donc quelle est ta probabilité de tirer une boule blanche ?

Pour montrer qu'une suite est croissante tu peux essayer de faire si le résultat est positif elle est croissante sinon bah le contraire :p

pour la 2b un minimum de logique peut l'expliquer va falloir réfléchir un chouilla et la suite on verra après :p

[jojo130194]

Au nième tirage, j'ai n boules blanches ? Au total, j'ai n+1 boules ? Donc la probabilité de tirer une boule blanche est de... !!
Wahou, c'est tout bête en fait :we:

Ensuite, Pn+1 - Pn = ...
En mettant sur le même dénominateur, je trouve cela... Mais je ne trouve pas de "vrai résultat", donc je peux pas savoir si le résultat est supérieur à 0 ou pas... Comment faire ? Où est mon erreur ?

Et pour la 2B... ? Je ne vois pas ? C'est en rapport avec le fait qu'on rajoute toujours une boule blanche... ? Mais dans ce cas la, quelle est le rapport avec la "composition de l'urne" ( qui est "très grande" ... ) ? :hein:

Merci de ton aide :happy2:

[Le Chaton]

En fait on s'en moque d'un "vrai résultat"
on veut juste connaitre le signe ...
n représente un nombre de tirage et un nombre de boules ( est ce que ça peut être négatif ? ) Donc quel est le signe de n+1 ? le signe de n+2 ? le signe de 1 ?
Et donc au final le signe de ta fraction ?

En suite pour la 2b : Moi ça me parait logique on ne fait qu'ajouter des boules blanches alors que le nombre de boule noir va rester constant est égal a 1 ...
Du coup plus ça avance plus on aura de chance de tirer une blanche ce qui est logique du coup ta probabilité sera croissante

[jojo130194]

D'accord, donc peu importe le vrai résultat, seul le signe compte, merci ^^
Mais dans le calcul que j'ai trouvé, il n'y a pas d'erreur apparente ? On pouvait bien transformer le (n+1)+1 en n+2 ? Ou bien on ne pouvait pas, car le +1 dans la parenthèse est en indice ? Je ne sais pas trop si je suis clair =S

Et pour la 2B, je suis d'accord avec toi, ça me parait très logique aussi, mais dans l'énoncé, il est écrit : "était prévisible, compte tenu de la composition de l'urne"... Mais la, il n'y a aucun rapport avec la composition de l'urne... ? C'est juste le fait que l'on rajoute toujours des boules blanches, mais jamais de boules noires qui intervient, mais la composition de l'urne n'intervient pas... Donc c'est bon quand même ? La réponse n'a rien à voir avec la composition de l'urne à proprement parlé ?

Sinon, pour la suite, pour démontrer que la suite est arithmétique, on fait comment ? (Pn+1) / (Pn) ? A moins que ce ne soit pour les suites géométriques... ? Je ne connais vraiment pas grand chose aux suites, désolé ^^

Par contre je n'ai aucune idée pour la question 3... Il faut trouver à partir de quand 1 - Pn est plus grand que 1/20, et ainsi, tous les naturels avant ce moment sont les éléments de réponses ? Je ne sais pas non plus si j'ai été clair =/

Merci beaucoup :)

[Le Chaton]

D'accord, donc peu importe le vrai résultat, seul le signe compte, merci ^^
Mais dans le calcul que j'ai trouvé, il n'y a pas d'erreur apparente ? On pouvait bien transformer le (n+1)+1 en n+2 ? Ou bien on ne pouvait pas, car le +1 dans la parenthèse est en indice ? Je ne sais pas trop si je suis clair =S

Oui on peut faire ça et ton calcul à première vue me parait juste

Et pour la 2B, je suis d'accord avec toi, ça me parait très logique aussi, mais dans l'énoncé, il est écrit : "était prévisible, compte tenu de la composition de l'urne"... Mais la, il n'y a aucun rapport avec la composition de l'urne... ? C'est juste le fait que l'on rajoute toujours des boules blanches, mais jamais de boules noires qui intervient, mais la composition de l'urne n'intervient pas... Donc c'est bon quand même ? La réponse n'a rien à voir avec la composition de l'urne à proprement parlé ?

Quand on parle de la composition de l'urne on veut parler du nombre de boules blanches et de boules noires qui composent l'urne donc oui la réponse c'est bien ça

Sinon, pour la suite, pour démontrer que la suite est arithmétique, on fait comment ? (Pn+1) / (Pn) ? A moins que ce ne soit pour les suites géométriques... ? Je ne connais vraiment pas grand chose aux suites, désolé ^^

Effectivement (Pn+1)/Pn c'est pour une suite géométrique ... pour une suite arithmétique il faut faire Pn+1-Pn ... ( donc ça tu l'as déja fait ... ) il te suffit de voir si Pn+1-Pn est constant ... si il est constant c'est que la suite est arithmétique de raison ... la valeur que tu as trouvé ...(en l'occurence ici tu trouveras que ça devrait pas être constant :p

Par contre je n'ai aucune idée pour la question 3... Il faut trouver à partir de quand 1 - Pn est plus grand que 1/20, et ainsi, tous les naturels avant ce moment sont les éléments de réponses ? Je ne sais pas non plus si j'ai été clair =/

Pour la 3 On peut essayer de raisonner "à l'envers " :p ... a quoi correspond 1-Pn ? faut réfléchir un peu ( pense un peu a la boule noire qui est toute seule :'( )

Merci beaucoup

Voili voilou j'espere que ça t'aide

[jojo130194]

Oui en effet, cela m'aide énormément ^^

Mais, comment savoir si le résultat de Pn+1 - Pn est constant, alors que l'on trouve comme résultat ? On calcule par exemple si n = 1 ( ce qui donne 1/6 ), et si n = 2 ( ce qui donne 1/12), et on conclut en disant que ce n'est pas constant, donc que ce n'est pas une suite arithmétique ?

Pour la question 3... 1 - Pn correspond à l'évènement contraire de Pn, donc à l'évènement "Tirer une boule noire" ? Donc il va devenir de plus en plus petit au fur et à mesure que n augmente... Donc au bout d'un moment, tous les naturels seront plus petits que 1/20... Et comme la probabilité de tirer une boule noire est p=(nombre de boules noires) / ( nombre total de boules ), donc de 1/(n+1)... A partir du 19ème tirage, 1 - Pn = 1/20... Je ne pense pas être très claire... Et je sais pas si mon explication est la bonne ?

Merci de m'aider

[jojo130194]

Bon, alors j'ai dit que je remarquais que 1 - Pn était la probabilité de l'événement contraire à l'événement Pn, c'est-à-dire que c'était la probabilité de l'événement "Tirer une boule noire". Ensuite, j'ai dit que cette probabilité se définissait par , donc par . Puis j'ai dit qu'il fallait que cela soit plus petit que , donc qu'il fallait chercher n tel que n + 1 = 20, ce qui équivaut à n = 20 - 1 = 19... Donc ensuite, j'ai dit que tous les naturels qui vérifient cette inéquation sont 19, et tous ceux qui suivent ( 20; 21; 22; ... ), donc S = ] 19 ; + [...
Est-ce bon ? Et bien expliqué ?

[Le Chaton]

Ouaip pour moi c'est tout bon ...

[jojo130194]

D'accord, merci beaucoup pour toute l'aide que tu m'as apportée :happy2: