Exercice mélange de dérivation et de trucs bizarres

[toto_tom]

Bonjour à tous!
Je viens poster car j'ai un peu de mal à débuter l'exercice suivant :

On considère un repère orthonormal (0;OI;OJ). Soit T le demi-cercle de centre 0 de rayon 1 et de diamètre [IK]. Pour tout point M de T, on appelle H son projeté orthogonal sur (IK). On note x l'abscisse de M dans ce repère et f(x) l'aire du triangle IHM. On rappelle que l'équation d'un cercle de centre 0 et de rayon 1 est donnée par x²+y=1.

Déterminer l'expression de f(x) en fonction de x.

[toto_tom]

C'est x²+y²=1 pardon.

J'arrive pas trop à commencer, je pensais isoler le y mais j'arrive pas!

[rene38]

Bonjour

Calcule HM en utilisant l'équation du cercle :
x²+y²=1 donc y²=1-x² et HM=y=...
Calcule HI en utilisant l'égalité de Chasles
et c'est presque fini.

[toto_tom]

Okay merci de votre aide.
Voilà ce que j'écris :


x²+y²=1
y²=1-x²
et HM=y donc HM²=1-x²

vecIH=vecIM+vecMH
norme vecIH=norme vecIM + norme vecMH
IH=IM+MH
IH²=IM²+(1-x²)

C'est ça?

Mais j'ai une question : pourquoi HM est égal à y?

[rene38]

vecIH=vecIM+vecMH oui
norme vecIH=norme vecIM + norme vecMH

Oh NON !

donc HI=1-x puisque x<1

Tu as calculé HM² ; maintenant écris HM=...

pourquoi HM est égal à y

Dans l'équation du cercle x²+y²=1, x représente l'abscisse d'un point du cercle (par exemple le point M) et y représente l'ordonnée de ce point.
M a pour coordonnées (x;y)

[toto_tom]

Okay donc HM=(1-x)(1+x) ce qui signifie que

f(x)=( HM x HI ) /2
=(1-x)(1+x)(1-x) /2

C'est ça?

[rene38]

HM=(1-x)(1+x)

Non : HM²=1-x² donc HM=...

[toto_tom]

Donc HM=y²!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
C'est ça?

[toto_tom]

Donc f(x) serait égale à y²-y²x /2

[rene38]

Donc HM=y²!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
C'est ça?

Il faut exprimer HM en fonction de x, pas de y.

[toto_tom]

Donc HM²-1=-x²

[rene38]

HM², on l'a depuis longtemps ! C'est HM qu'on veut.

[toto_tom]

Mais j'arrive paaaaaaaaaaaas!

[rene38]

HM²=1-x² donc c'est si compliqué ?

[toto_tom]

Ah mais je pensais qu'on avait pas le droit d'écrire ça, je sais pas pourquoi.
Merci tout de même!

Donc f(x)= racine de 1-x² x (1-x) /2?

[rene38]

Eh bien oui :
et on a parfaitement le droit d'écrire
puisque donx et donc est positif.

[toto_tom]

Ah d'accord merci René! Effectivement j'avais pas fait attention à ce détail.
J'ai d'autres questions auxquelles j'ai déjà répondues.

3)Soit g la fonction définie par g(x)=(1-x²)^3(1+x) sur [-1;1].
a) Démontrer que pour tout x de [-1;1], g'(x)=-2(1-x)²(2x+1).

Donc ça j'ai réussi à démontrer.

b)Etudier les variations de g.

Donc j'ai trouvé g croissante lorsque x plus petit ou égal à -1/2.
G décroissante lorsque x plus grand ou égal à -1/2.

c) Vérifier que pour tout x de [-1;1], racine de g(x) = 2f(x).

Alors j'ai écrit racine g(x) = (1-x)²racine de 1+x

mais ça donne pas vraiment 2f(x)....

[rene38]

g(x)=(1-x²)^3(1+x) il n'y a pas de carré.
a) Démontrer que pour tout x de [-1;1], g'(x)=-2(1-x)²(2x+1).

Donc ça j'ai réussi à démontrer.

b)Etudier les variations de g.

Donc j'ai trouvé g croissante lorsque x plus petit ou égal à -1/2.
G décroissante lorsque x plus grand ou égal à -1/2.

Tout ça est bon.

c) Vérifier que pour tout x de [-1;1], racine de g(x) = 2f(x).

Reste à prendre la racine carrée de tout ça (on est sur [-1;1] donc les différents facteurs sont positifs)

[toto_tom]

Okay alors je suis pas sûr :

_ soit la racine de g(x) donne (1-x)(1-x) mais je pense pas vu qu'on a un produit si?

_soit (1-x)²(1-x)²=(1-x)^4 et on fait la racine de ça

[rene38]

Lis correctement :

je n'ai pas écrit (1-x)²(1-x)²

mais (1-x)²(1-x²)