Matrices

[Anonyme]

Comment déterminer le rang d'une matrice? Et son noyau (ker)?

J'ai un examen lundi prochain et je nage...

[thomasg]

le rang d'une matrice carrée est la dimension de l'espace vectoriel engendré par ses vecteurs colonne (ou ligne).
Concrètement pour le déterminer, une méthode efficace consiste à transformer la matrice en utilisant le pivot de Gauss, le rang est alors donné par le nombre d'éléments non nuls sur la diagonale.

Le ker est l'espace engendré par les vecteurs qui annulent la matrice après multiplication.

Si tu veux plus de réponses, précise ta question et propose des exemples.

Au revoir. Thomas

[Anonyme]

En fait, en général.

Disons par exemple une matrice

1 6 4

2 -4 0

1 3 3

[cesar]

calcules son determinant, si il est pas nul -> noyau est reduit à (0,0,0)
si determinant nul, resoudre le systeme suivant :

[1 6 4] [ x ] [0]
[ ] [ ] [ ]
[2 -4 0] [y ] = [0]
[ ] [ ] [ ]
[1 3 3] [z ] [0]

tu trouveras, soit l'équation d'un plan, soir l'équation de deux plans (dans ce cas cela correspond à une droite....)

[thomasg]

Je suis d'accord avec la démarche proposée précédemment.

Pour la matrice que tu proposes, par une succession d'opérations sur les lignes (s'apparentant au pivot de Gauss, ce qui est vu en lycée sous le nom de méthode de résolution des systèmes par combinaison), tu obtiens la matrice diagonale équivalente suivante
1 6 4
0 6 3
0 0 1

la diagonale ne comportant pas de 0, tu en déduis que le rang est 3 et que le noyau (ker) est réduit à (0,0,0).