Matrice diagonalisable (Option Maths expertes Terminale)

[Akksel]

Bonjour,

Je suis en train de résoudre un dm de maths sur les matrices et nottament les matrices diagonalisables mais je bloque à la question suivante:

On suppose à partir de maintenant que A est une matrice diagonalisable ie il existe une matrice inversible P telle que:
où D est une matrice diagonale:

Montrez que, pour tout nombre réel ,
______________________

Donc j'ai développé:

C’est sur cette dernière étape où je bloque. En effet j’aimerai pouvoir « enlever » le et le sauf que le se trouve entre. Ai-je le droit de modifier l’ordre (car matrice identité) dans le produit afin de pouvoir faire et ainsi trouver la réponse ?
Est-ce que je suis au moins sur la bonne piste ?

[hdci]

Bonjour,

Si sont deux matrices et si est un réel, alors on a


Une fois ceci dit, que pouvez-vous dire de et (où est la matrice identité) ?
Si vous ne le savez pas, écrivez le calcul !

[Carpate]

On factorise à droite par puis à gauche par (avec ) :

[Akksel]

Merci beaucoup !!

[Akksel]

Je bloque à nouveau mais sur une nouvelle question...

Q5) En déduire que le déterminant de la matrice vérifie: ou

Donc, selon la q3:

Alors on peut écrire,
Et à partir de cette étape je bloque. Je comprend que la matrice est inversible ssi ou (car le déterminant serait nul) mais je n'arrive pas à mettre en lien les deux ...

Merci pour votre aide vous m'aidez beaucoup !

[Carpate]

P matrice de passage est inversible donc et


Variante :
Les matrices et sont semblables et ont donc le même déterminant ...

[Akksel]

merci énormement ! Cela m'aide beaucoup