DM de maths

[mimi-21]

Bonjour ! Pouvez-vous m'aider svp pour ce Dm de maths ?

Exercice 1: U est la suite définie par: Pour tout n appartient N, Un+1 - Un= 8(n+1) et U0=1.
Conjecturer Un en fonction de n. Démontrer votre conjecture.

Exercice 2: L'Emir Beurdeil a conservé les bougies de ses gâteaux d'anniversaire depuis son premier anniversaire jusqu'à aujourd'hui sauf celles d'une année où il était trop malade pour fêter quoi que ce soit. Il possède actuellement 2008 bougies.
Quel âge avait-il lorsqu'il n'a pu fêter son anniversaire ? Et quel âge a-t-il aujourd'hui ?

Voilà merci pour votre aide !

[Timothé Lefebvre]

Bonjour,

ce serait pas mal que tu nous expliques où tu bloques !

[Florélianne]

Bonjour,

Exercice 1: U est la suite définie par: Pour tout n appartient N, Un+1 - Un= 8(n+1) et U0=1.
Conjecturer Un en fonction de n. Démontrer votre conjecture.
Un+1 = Un + 8(n+1)
cette suite n'est pas arithmétique puisque 8(n+1) varie en fonction de n
Soit Vn+1= Un+1-Un = 8(n+1)
la suite (Vn) est une suite arithmétique de raison 8 de premier terme V0 =0

Vn+1= Un+1-Un Un+1 = Un+Vn+1
la somme des n premiers termes de la suite Un ?
la somme des n premiers termes de la suite (Vn) est :
8n(n+1)/2 = 4n(n+1)

U1 = U0+V1
U2 = U1+V2
...
Un+1=Un+Vn+1
additionnons chaque colonnes on obtient :
U1+U2+...+Un+Un+1 = U0+U1+...+Un + [V1+V2+...+Vn+1]
Simplifions ce qui est coloré il reste :
Un+1 = U0 +[V1+V2+...+Vn+1] = U0 +4(n+1)(n+2)

on a trouvé une expression de Un+1 en fonction de U0 et n
Un+1 = U0+4(n+1)(n+2)

U0+U1+...+Un = (n+1)U0[size=2] [/size]+ 4[(1*2)+(2*3) +(3*4)+ ... +n(n+1)]

remarque n(n+1) = n² +n
on a la 4 fois la somme de de 1 à n de (n²+n)
donc 4[n(n+1)/2] + 4[ n(n+1)(2n+7)/6]
si je n'ai pas fait d'erreur en retrouvant la somme des n premiers carrés...
U0+U1+...+Un = (n+1)U0[size=2] [/size]+ 4n(n+1)[1/2 +(2n+7)/6]=
= (n+1)U0[size=2] [/size]+ 2n(n+1)(3+2n+7)/3=
= (n+1)U0[size=2] [/size]+ 2n(n+1)(2n+10)/3 =
= (n+1)U0[size=2] [/size]+ 4n(n+1)(n+5)/3

U0+U1+...+Un =(n+1)U0[size=2] [/size]+ 4n(n+1)(n+5)/3



Exercice 2: L'Emir Beurdeil a conservé les bougies de ses gâteaux d'anniversaire depuis son premier anniversaire jusqu'à aujourd'hui sauf celles d'une année où il était trop malade pour fêter quoi que ce soit. Il possède actuellement 2008 bougies.
Quel âge avait-il lorsqu'il n'a pu fêter son anniversaire ? Et quel âge a-t-il aujourd'hui ?
Il a été malade pour l'année m, il a n années
S'il avait fêté chaque année son anniversaire on aurait eu:
2008 = n(n+1)/2
mais il lui manque m bougies
donc 2008 = [n(n+1)/2]-m
2008+ m = n(n+1)/2
4016 + 2m = n(n+1)= n²+n
n²+n-4016-2m=0
doit avoir une solution entière positive
delta = 1+4(4016+2m)=1+16064+8m= 16065+8m
donc 8m + 16065 doit être un carré
a²= 8m+16065
le carré entier juste supérieur à 16065 est 127²= 16129
16129-16065=64
donc la plus petite valeur possible de a est : a² = 127² => 8m=64 => m=8
donc à 8 ans qu'il était malade est une solution
n= (-1+127)/2 = 126/2=63 ans

si on choisissait une valeur b supérieure à 127,
b doit être impair pour que m soit entier
donc b= 129 => b²= 16641
8m= 16641-16065 = 576 => m = 72
n= (-1+129)/2=128/2=64 impossible !
l'année où il a été malade augmente bien plus vite que son âge... donc pas d'autre solution
Je ne garantis rien, j'ai fait ce que j'ai pu... si d'autres trouvent mieux ... j'en serais ravie !
Très cordialement