Dm de maths

[kent1lboss]

bonjour,
j'ai un petit souci dans mon dm de maths.
Voilà : le 1 était exprimer 1/n-1/n+1 chose que j'ai résolu en trouvant au final 1/n(n+1)
par contre il faut en déduire combien vaut le nbre N dans la fonction
N=1/1*2+1/2*3+1/3*4+1/4*5+...+1/2000*2001
J'ai essayé plusieurs trucs du style
N= 1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+... mais je n'arrive pas à trouver la valeur de N
quelqu'un peut-il me mettre sur la voie...
Merci

[rene38]

Bonjour

Puisque quel que soit le naturel non nul n,


tu peux donc remplacer n
par 1 :
par 2 :
par 3 :
......................
par 2000 :

N est la somme des seconds membres de toutes ces égalités ;
N est donc aussi la somme des premiers membres
(somme télescopique : presque tous les termes s'annulent 2 à 2)

[kent1lboss]

merci pour ton aide mais je ne comprends pas ce que tu indiques à la fin.
je ne sais pas si je l'ai dit mais je ne suis qu'en seconde...
merci de me réexpliquer ce que tu affirmes à la fin de l'exercice à savoir que N est la somme des seconds membres mais aussi des premiers membres . comment puis je expliquer cela plus facilement ?

[Emmilia]

Bonsoir à tous = )
Alors voilà j'ai un problème pour des questions de mon DM de maths (je suis en seconde).
(N'ayant pas de scaner j'ai essayé de faire la figure du mieux possible sur paint) La voici:

Sur les arrêtes d'un cube, on marque les points I,J,K tels que: AI=AJ=AK=x où x est un réel donné strictement positif et strictement inférieur à la longueur a de l'arrête du cube.
Questions:
1) Pourquoi le triangle IJK est-il équilatéral? Calculer son aire.
2) Comment appelle-t-on le solide AIJK? Calculer son volume.
3) La perpendiculaire menée par A au plan (IJK) coupe ce plan en H.
Calculer AH en fonction de x.

Pour la première question, j'ai mis:
A est le point d'intersection des droites AJ, AI et AK et A se trouve à égale distance de chaque point. Etant donné que (AJ), (AI) et (AK) sont à la fois médianes, hauteurs, médiatrices et bissectrices, le triangle IJK est équilatéral.
(Vu que je n'aimais pas trop j'ai ajouté ça:)
On peut le vérifier avec le théorème de Pythagore.
Les angles d'un cube sont des angles droits. A=90°.
On peut donc utiliser Pythagore.
Dans le triangle AIK, rectangle en A, d'après le théorème de Pythagore, on a:
IK²= AI² + AK².
IK²=x² + x²
(au résultat je trouve IK=x * (racine carrée de 2))
Je le fais pour les deux autres côtés et je conclus:
Puisque IK=KJ=JI, le triangle IJK est équilatéral.

Ensuite pour l'aire j'ai prolongé (AI) pour qu'il coupe (JK) et j'ai placé M au point d'intersection de ces deux droites.
On sait que dans un triangle équilatéral, les médianes sont aussi les hauteurs. Donc (IM)= hauteur du triangle IJK.
On peut donc utiliser Pythagore.
Dans le triangle IJM rectangle en M, d'après le théorème de Pythagore, on a:
IJ²= JM² + MI ²
(x*racine carrée de 2)²=(1/2*x*racine carrée de 2)² + MI²
(au résultat je trouve 1.5 x².)
On peut maintenant calculer l'aire de IJK.
Aire IJK= (base*hauteur)/2=(JK*IM)/2=(x*racinecarrée de 2*1.5*x²)/2^
= 3/4x^3*racine carrée de 2 cm².

(je ne suis pas du tout sûre de mon résultat).


2)On appelle le solide AIK un tétraèdre. On sait qu'un coin de cube est un tétraèdre dont les faces AJK, AKI, et AKIJ sont des triangles rectangles en A. Lorsque d'après la propriété, AI=AJ=AK, on parle d'un coin de cube.
On prendra comme base AIK.
Volume AIJK= 1/3 * AI * AJ * AK (c'est la formulaire que j'ai trouvé dans mon livre car je n'ai pas encore étudié comment calculer le volume d'un tétraèdre).
V= 1/3 *x*x*x=1/3*x^3=x^3/3 cm^3.


3) Alors là je n'y arrive plus >< J'ai essayé avec (B*h)/3, mais ça ne marche pas, ça ne me donne pas le résultat en fonction de x vu que les x^3 s'annulent..

Voilà si vous pourriez m'aider ce serait agréablement gentil de votre part ^^
Merci d'avance à tous ceux qui essaieront et bonne soirée.

[rene38]

Compare ce que tu as écrit (l'énoncé) : N=1/1*2+1/2*3+1/3*4+1/4*5+...+1/2000*2001
avec les seconds membres des égalités :
<-- c'est 1/(1*2)
<-- c'est 1/(2*3)
<-- c'est 1/(3*4)
......................
<-- c'est 1/(2000*2001)

donc
qui ne doit pas être bien difficile à calculer :
si tu mets de côté et que reste-t-il ?

[kent1lboss]

je te remercie pour ton explication je crois que j'ai compris en fait maintenant je n'ai plus qu'à calculer 1/1-1/2001 pour trouver N puisque tous les autres s''annulent au fur et à mesure
c'est bien cela ?
à bientôt surement pour de nouvelles difficultés.
J'aime beaucoup ta façon de procéder car tu m'aides à comprendre plutôt que de résoudre directement le problème
super :zen: