DM en maths

[maelle80400]

bonjour j ai un Dm en maths et je ne sais pas comment commencer
merci de bien vouloir m aidé
on considère un triangle ABC isocèle et rectangle en A
tel que AB=5 cm
soit I le milieu de (AC)
M est un point mobile sur le segment AB
soit (D) la perpendiculaire à (AB) issue de M elle coupe (BC) en N
on s\\\'intéresse à l aire du polygone AMNI
Le but de la recherche est de trouver la position du point M sur AB pour laquelle l aire est maximale

[Peacekeeper]

Bonsoir Maelle,

Commençons par mettre le problème en équation, donc appelons x la distance AM. Cette distance est donc variable et il nous faut déterminer le x pour lequel l'aire de AMNI est maximale. Pour cela, il nous faut exprimer cette aire en fonction de x. Quelle est la formule de l'aire d'un trapèze?

[maelle80400]

Bonsoir je vous remercie de bien vouloir m aidez
donc formule de l air du trapèze
petite base + grande base x hauteur :2

[Peacekeeper]

Pas de problème.
N'oubliez pas les parenthèses pour que votre expression soit exacte: (petite base+grande base)xhauteur/2.
Ici les bases sont IA et MN, et la hauteur est AM puisque l'angle IAM est un angle droit.
Pouvez-vous exprimer les longueurs IA, MN et AM en fonction de x?

[maelle80400]

Bonjour on sait que IA = 2.5 cm
MN = ?
AM =5 -x
non je ne sais pas exprimer les longueurs en fonction de x

l année derniere j'etais en seconde pro vente donc très peu de maths mais je n aimais pas du tout cette année seconde générale mais pour moi malheureusement les maths sont très difficile a comprendre mais je veux m'en sortir

[Peacekeeper]

D'accord. Ne vous en faites pas, nous allons voir cela ensemble. :happy3:
Mon objectif est que vous compreniez ce que vous faites pour pouvoir le refaire par la suite et pourquoi pas vous amener à aimer cette matière.
Alors, oui vous avez tout-à-fait raison, IA=2,5 cm.
Pour ce qui est de AM, si vous relisez bien mon premier message je vous avais proposé que x représente cette distance et non la distance MB. Donc nous avons AM=x (et MB= 5-x pour l'anecdote).
Enfin la distance MN est un peu plus délicate à déterminer. Connaissez-vous le théorème de Thalès?

[maelle80400]

merci beaucoup c'est très gentil de votre part
oui je connais le théorème de thales
faut il que je l applique sur le quadrilatère INAM ?

[Peacekeeper]

Il n'y a pas de soucis.
Le quadrilatère INAM ne vous permet pas de l'appliquer car vous ne voyez pas se croiser les droites (IN) et (AM).
En revanche, vous pouvez l'appliquer en considérant les deux droites (AB) et (CB) sécantes en B et les deux droites parallèles (MN) et (AC).

[maelle80400]

cela me permettra de calculer MN ?

[Peacekeeper]

Cela vous permettra d'obtenir une expression de MN en fonction de x, oui. Car vous connaissez AC et AB et vous pouvez exprimer MB en fonction de x.

[maelle80400]

je suis absente cette après midi mais des demain matin je regarde pour calculé ça et on voit ça ensemble si vous voulez bien

[Peacekeeper]

Je ne serai disponible que le soir, mais je vous aiderai à aller au bout de l'exercice naturellement.

[maelle80400]

bonjour, j'ai appliquer le théorème de thalès en sachant que (AB) et (CB) sont sécantes en B
(MN) et (AC) sont parallèles,
les points BNC, et BMA sont alignés dans cet ordre
alors; BN sur BC = BM sur BA = NM sur AC
BN sur BC = 5-x sur 5 = NM sur 5
on fais un produit en croix; 5*5-x:5
on trouve donc la valeur de MN=5-x ? merci

[Peacekeeper]

Bonjour,

C'est parfait. Juste un petit détail, vous avez écrit BN/BC=(5-x)/5, ce qui est tout-à-fait juste mais je voulais être bien sûr que vous étiez consciente qu'il ne s'agit que d'une égalité de rapport. Je veux dire par là que BN n'est pas égal à 5-x et BC n'est pas égal à 5, mais comme vous l'avez dit très justement BN/BC=BM/MA avec cette fois BM=5-x et BA=5.
Si ceci est bien clair dans votre esprit il n'y a pas de soucis :happy3:

A présent vous pouvez exprimer l'aire du trapèze AMNI.

[maelle80400]

Tout est clair.
Je fais donc: (MN+AI)*AM:2

((5-x)+2,5)*x:2 ; mais je ne sais pas calculer ceci.

[Peacekeeper]

Très bien, parfait alors.
Vous avez maintenant l'équation de l'aire AMNI. Il ne s'agit pas de la calculer mais de trouver x pour laquelle elle est la plus grande il vous faut donc réaliser une petite étude de la fonction soit en développant .
Donc d'abord calcul de la dérivée, puis étude de son signe ce qui vous donnera le sens de variation de la fonction représentant l'aire de AMNI. En espérant qu'il y ait un maximum ^^

[maelle80400]

bonjour, je ne comprends pas ce qu'il faut faire pouvez vous m'aider :-)

[Peacekeeper]

Bien sûr.
Avez-vous déjà fait des études de fonction par le passé? Les tableaux de variation et tableaux de signe, cela vous dit-il quelque chose? :happy3:

[maelle80400]

Vraiment vaguement...

[Peacekeeper]

D'accord. Arrêtez-moi si vous ne comprenez pas quelque chose. ^^
Alors nous possédons l'expression suivante qui représente l'aire de AMNI suivant la valeur de x (autrement dit la longueur AM). Donc par exemple, si nous fixons AM=2 il nous suffit de remplacer x par 2 dans la fonction ci-dessus pour connaître l'aire de AMNI dans cette configuration.
Pour connaître la valeur de AM pour laquelle l'aire AMNI est maximale, nous n'allons pas tester toutes les valeurs possible jusqu'à trouver l'aire maximale. Donc nous allons étudier le sens de variation de la fonction représentant l'aire. C'est-à-dire que nous allons regarder quand sa valeur augmente ou diminue au gré des variations de x. Pour trouver une valeur maximale, il faudra donc espérer que la fonction soit croissante (jusqu'à atteindre la valeur max) puis décroissante.
La méthode pour déterminer le sens de variation d'une fonction est d'étudier le signe de la fonction dérivée. Sur les intervalles où la dérivée est négative la fonction est décroissante, sur ceux où elle est positive la fonction est croissante. Si la dérivée s'annule alors la fonction atteint un minimum ou un maximum.
Donc première chose à faire, calculer la fonction dérivée. Besoin d'aide?