DM de maths sur les vecteurs

[soso29]

salut ! Voila alors, j’ai quelques difficultés à résoudre cet exercice. C’est un devoir de maison (en tout j’ai 4 exos à faire, mais celui la me pose quelques problèmes)

Soit ABC un triangle non aplati.
Soit A’, B’, C’ les milieux respectifs des segments [BC], [AC] et [AB].
Soit G le point d’intersection des droites (BB’) et (CC’).
Soit B1 le symétrique de G par rapport à B’ et C1 le symétrique de G par rapport a C’.

1.Démontrer que les quadrilatères GCB1A, GBC1A et GB1AC1 sont des parallélogrammes.


2. Démontrer les égalités suivantes
a)vecteur GA + vecteur GC = vecteur GB1 ;
b)vecteur GA + vecteur GB = vecteur GC1 ;
c) vecteur GB1 + vecteur GC1 = vecteur GA.

3.En déduire que vecteur GA + vecteur GB + vecteur GC = vecteur nul.

4.Démontrer que G appartient a (AA’).
Que peut-on dire pour G ?

5.Démontrer que, pour tout point M du plan, on a :
vecteur MA + vecteur MB + vecteur MC = 3 vecteur MG

6.Montrer que G est le centre de gravité du triangle A’B’C’

7.Soit A » l’intersection d (AA’) avec [B’C’],
B » l’intersection de (BB’) avec [A’C’]
et C » l’intersection de (CC’) avec [A’B’]
a) Montrer que A » est le milieu de [B’C’]
b) Montrer que B » est le milieu de [A’C’]
c) Montrer que C » est le milieu de [A’B’]

8.Que peut-on dire de G pour le triangle A »B »C » ??


Voila cela serait super sympa si vous m’aidiez à résoudre l’exercice !!! Pour l'instant j'ai réussi a résoudre les 3 premières questions, mais je les écrits quand même pour que vous puissiez mieux comprendre le sujet.

[yvelines78]

bonjour,
.Démontrer que les quadrilatères GCB1A
B' est le milieu de [AC] et B' est le milieu de [B1G]--->GCB1A //lo

, GBC1A et GB1AC1 sont des parallélogrammes.
de même

2. Démontrer les égalités suivantes
a)vecteur GA + vecteur GC = vecteur GB1 ;
remplace vec GA par un vec = sachant que GCB1A est un //lo
b)vecteur GA + vecteur GB = vecteur GC1 ;
de même
c) vecteur GB1 + vecteur GC1 = vecteur GA.
de même
3.En déduire que vecteur GA + vecteur GB + vecteur GC = vecteur nul.
vecteur GA + vecteur GB + vecteur GC =(vecGB1+vecGC1)+(vecGC1-vecGA)+(vecGB1-vecGA)
=2vecGB1+2vecGC1-2vecGA
=2vecGB1+2vecGC1-2(vecGB1+vecGC1)
=vec0


4.Démontrer que G appartient a (AA’).G E à 2 des médianes.......
vecGA+vecGb+vecGC=vec0, donc G est le centre de gravité
Que peut-on dire pour G ?

5.Démontrer que, pour tout point M du plan, on a :
vecteur MA + vecteur MB + vecteur MC = 3 vecteur MG
en utilisant Chasles
vecMG+vecGa+vecMG+vecGB+vecMG+vecGC=3vecMG+vecGA+vecGB+vecGC=3vecMG

6.Montrer que G est le centre de gravité du triangle A’B’C’
G centre de gravité :
vecGB'=1/3*vecBB', vecGA'=1/3*vecAA', vecGC')1/3*vecCC'
vecGA+vecGB+vecGC=vec0
vecGA'+vecA'A+vecGB'+vecB'B+vecGC'+vecC'C=vec0
1/3*vecAA'+vecA'A + 1/3*vecBB'+vec B'B +1/3*vecCC'+vecC'C=vec0
2/3*vecA'A+2/3*vecB'B+2/3vecC'C=vec0
2/3(vecA'A vecB'B+vecC'C)=vec0
-2/3(vecAA' vecBB'+vecCC')=vec0
donc vecAA' vecBB'+vecCC'=vec0
si G est centre de gravité, on doit montrer que vecGA'+vecGB'+vecGC'=vec0

vecGA'+vecGB'+vecGC'=vecGA+vecAA'+vecGB+vecBB'+vecGC+vecCC'
=vecAA'+vecBB'+vecCC'=vec0 (voir ci-dessus)


7.Soit A » l’intersection d (AA’) avec [B’C’],
B » l’intersection de (BB’) avec [A’C’]
et C » l’intersection de (CC’) avec [A’B’]
a) Montrer que A » est le milieu de [B’C’]
b) Montrer que B » est le milieu de [A’C’]
c) Montrer que C » est le milieu de [A’B’]
G est le centre de gravité de A'B'C', donc A'A'' est une médiane, B'B'' est une médiane et B'B" est aussi médiane

8.Que peut-on dire de G pour le triangle A »B »C » ??
il est sans doute le centre de gravité