Mathématique TPE: fonction exponentielle Bactéries

[LouisF]

Bonjour,

voilà, je suis en première S et j'ai un TPE à finir sur la Fermentation Lactique. Il me manque justement la partie maths et je n'arrivais pas à comprendre la fonction exponentielle(croissance des bactéries lactiques). Pourriez-vous m'aider à comprendre et à interpréter la courbe? Merci d'avance.

[LouisF]

Voici la courbe:

[Robic]

Bonjour ! La fonction exponentielle n'est pas au programme de première donc personne n'a le droit d'exiger que tu l'utilises. Pourquoi en parles-tu ? Quel est la question qui semble utiliser l'exponentielle ?

(Maintenant, ce n'est pas top secret non plus... La fonction exponentielle est une fonction qui est proportionnelle à son accroissement. Par exemple si on fait un tableau avec en première ligne les f(x) et en deuxième ligne les accroissements), on doit obtenir un tableau de proportionnalité. Ici la première ligne contiendra f(0), f(1), f(2), etc. et la deuxième ligne contiendra f(1)-f(0), f(2)-f(1), f(3)-f(2), etc. La courbe rouge semble en effet avoir une bonne tête d'exponentielle.)

[Sylviel]

Je te suggère de regarder sur internet ce que tu peux trouver sur la fonction exponentielle...

Pour te faire une idée : si une cellule se dédouble tous les jours, la population va être
1
2
4
8
16
32
64
128
256
...
2^n

cette croissance est dite exponentielle : chaque élément produit un certain nombre d'enfants à chaque étape, donc si tu multiplie la population par 5 la vitesse de la croissance est aussi multipliée par 5 !

Si la cellule se divisait en 3 tu aurais la suite 3^n.

__________________________________________

Tu peux aussi voir l'évolution comme une suite géométrique dont tu cherches le paramètres. Tu as sans doute, dans ton logiciel, des outils de regression exponentiel qui pourront t'aider à déterminer ce paramètre.

[LouisF]

Merci pour vos réponses. J'aimerai savoir comment et q'est-ce que nous pouvons exploiter du graphique (à l'oral).

Merci d'avance.

[Robic]

Ah OK, il faut juste interpréter la courbe, donc pas besoin de parler d'exponentielle.

En l'absence de question précise, j'imagine qu'il faut remarquer que les streptocoques de coculture croissent de façon incontrôlée et que leur population s'envole, tandis que pour les trois autres la population finit par se stabiliser à une certaine valeur. Ensuite il faut dire pourquoi (ou faire des hypothèses) mais là, ce n'est plus des maths.

[LouisF]

Merci, mais notre partie svt est remplie à bloc déjà, et la partie maths, pas du tout... Est-ce que les graphiques de ph sont des maths ? Merci pour vos réponses.

[Sylviel]

Si tu veux faire un epu de maths dans ton TPE je te propos la chose suivante :

on suppose que la population de streptocoques est une suite géométrique et on va chercher la "meilleure" raison pour cette suite.

On appelle p_k la population mesurée à l'étape k.

La population prévue par ton modèle à l'étape k sera v_k=p0*q^k (avec p0 la population au départ, et q la raison choisie).

Ce que l'on va minimiser c'est l'erreur quadratique en fonction de la raison q:
E(q) = (p0-v0)²+(p1-v1)²+...(p7-v7)²

Je te suggère :
1) d'écrire E(q) uniquement en fonction des nombres de ton expérience (i.e. les pk) et de la raison q
2) de tracer E(q) avec ton tableur pour avoir une idée du minimum
3) de dériver (à la main avec tes pk) E(q)
4) de chercher par dichotomie (tu as du voir ça en cours sinon sur le web sinon on t'expliqueras) le q tel que E'(q)=0 (pourquoi ?)
5) de tracer ta courbe expérimentale (p_k) et théorique vk avec le q obtenu en 4)

Avec ça tu auras fait un joli exercice de maths qui utilise des notions intéressantes.