Dm de math sur la fonction exponentielle pour demain ...

[Maxoo-dream]

Bonjour à tous ,
Voici un exercice que je n'arrive pas à résoudre entièrement. Pouvez-vous m'aider?

Soit f la fonction définie par f(x)= (e^x)/(e^x + 1) et C sa courbe représentative

1) Justifier que, pour tout x ;) R, f(x) = 1/ ( 1+e^-x)

2) Calculer mes limites de f en +;) et -;), et interpréter graphiquement.

3) Etudier les variations de f

4) Prouver que I ( 0 ; 1/2) est centre de symétrie de C

5) Déterminer une équation de la tangente T à C en I

6) Pour tout x ;) R, on pose ;) (x) = (1/4)x + (1/2) - f(x)
a)Prouver que ;)'(x) = (e^x - 1)²/4(e^x + 1)²
b) Donner le sens de variation de ;)
c) Calculer ;)(0) et en déduire le signe de ;)(x). Quelle interprétation graphique du signe de ;) peut-on en donner à l'aide de C et T

Voici je que j'ai fais :

2) Lim x;) + ;) 1/(1+e^-x) = 1
Lim x;) - ;) 1/(1+e^-x) = 0

mais je ne vois pas comment interpréter graphiquement

3) f est dérivable sur R
donc f' est dérivable sur R
pour tout x de R, f'(x) = [e^x(1+e^x)-e^x * e^x] / (1+e^x)²
donc f'(x) = e^x / (1+e^x)²

Donc pour tout x de R, e^x > 0 donc f'(x) > 0
f(x) est donc strictement croissante sur R

4) Pour tout x de R, [f(0-x) + f(0+x)] /2 = [ (e^-x)/(1+e^-x) + (e^x)/(1+e^x)] /2
on obtient : [f(0-x) + f(0+x)] /2 = 1/2 [ (e^-x (1+e^x) + e^x (1+e^-x)] / [ (1+e^-x)(1+e^x)]
= 1/2 [ (e^-x +1+e^x +1) / 1+e^x +e^-x +1 ] =1/2

On en déduit que I (0 ; 1/2) est le centre de symétrie de C


voila ou j'en suis arrivée pouvez vous m'aider pour la premiere question et voir si les autres sont bonnes

[Mortelune]

Bonsoir.

Pour la 1 factorise numérateur et dénominateur par exp(x) le résultat apparaitra tout seul.

Pour la 2 les limites sont bonnes, pour l'interprétation graphique peut être que tu peux dire que ta fonction est bornée à tout hasard.

Pour la 3 ça doit être ça mais ça aurait sans doute était plus lisible en utilisant la forme donnée à la question 1.

Pour la 4 c'est d'accord.

Ensuite la 5 il suffit de brutalement appliquer la formule de la tangente en un point que tu dois avoir dans ton cours.

Pour la 6a) utilise la forme du 1) pour la dérivée et multiplie en haut et en bas par exp(2x). Les calculs de ce genre se résume souvent à des opérations comme ça ;)
Pour la b) on conclu facilement avec la a) et la c) idem