Dm math sommes des n premiers carrés

[mimiiii14]

Bonjour,
J’ai ici un devoir maison de mathématique et je n’y arrive pas sur certaines questions. Je viens ici pour essayer de trouver de l’aide et des explications. merci d’avance

Voici mon énoncé
Pour tout n appartient à N on considère les sommes suivantes :
Sn= 1+2+3+...+n
Dn= 1+2²+3²+...+n²
Tn= 1+2³+3³+...+n³

1.Rappeler la propriété du cours concernant Sn
2.Montrer que T(n+1)-Tn = (n + 1)³
3.a)Montrer que (n+1)³ = n³+3n²+3n+1
On notera cette égalité En.
b)En ajoutant membre à membre les égalité En, E(n-1), E(n-2), ... , E3, E2, E1 montrer qu’on a :
T(n+1) = Tn + 3Dn + 3Sn + n + 1
4.A l’aide des questions précédentes montrer que :
1+2²+3²+...+n² = n(n+1)(2n+1)/6

Voici mes réponses :

1. Sn= n(n+1)/2
2. T(n+1)-Tn
= n^4+ 6n^3 +13n^2+ 12n+ 4/4
= n^2(n+1)^2/4 = (n+1)^3
3.a) j’ai développer
b) j’ai calculer les égalité E(n-1), E(n-2), E3, E2 et E1 mais je ne comprend pas ce que je doit faire après
4.Je n’arrive pas à montrer l’égalité

voilà j’espère que vous pourrez m’aider merci à vous.

[vam]

Bonjour

écris bien toutes tes égalités les unes sous les autres
et à la fin
tu en fais la somme membre à membre
somme de tous les membres de gauche = somme de tous les membres de droite

mais à droite, fais des sommes (je dirais) "verticales" plutôt que de tout écrire en ligne
....

[lyceen95]

Pour la question 1, j'aurais aimé voir appaaître un certain mot ... La formule que tu donnes, elle vient d'un paragraphe du cours, qui s'appelle comment ?

Question 2. Je ne sais pas d'où tu sors ces calculs, tu as un n^4 qui arrive de je ne sais où ( je devine ... mais peu importe).

En particulier, tu écris : n^4+ 6n^3 +13n^2+ 12n+ 4/4 = (n+1)^3
Si je remplace n par 1000 dans cette formule, c'est évident que c'est faux.

Cette question 2 est très facile, presque trop. Tu dois enfoncer un clou, tu as un marteau, mais tu préfères utiliser une mitrailleuse.

[mimiiii14]

merci de vos réponses

alors pour la question 1 j’ai trouver la formule dans mon cours qui s’appelle sommes des n premiers entiers naturels non nuls.

pour la 2 j’ai trouver que
T(n+1)=(n+1)^2((n+1)+1)^2/4
= n^4 + 6n^3 + 13n^2 + 12n + 4/4
c’est de là où j’ai trouver le n^4
et oui je me suis tromper j’ai oublier de soustraire le Tn
donc cela fait
n^4 + 6n^3 + 13n^2 + 12n + 4/4 - n^2(n+1)^2/4
= (n+1)^3

pour la 3b) j’ai fait la sommes des membres à la verticales mais je n’arrive pas à retrouver l’égalité
T(n+1)= Tn + 3Dn + 3Sn + n + 1
je n’arrive pas à transformer mon résultat afin de trouver ça.

[mathelot]

bonjour,

soit l'égalité

on somme les égalités de k=0 jusqu'à n, soit n+1 égalités.
Qu'est ce que l'on obtient ?

[mathelot]

bonjour,

soit l'égalité

on somme les égalités de k=0 jusqu'à n, soit n+1 égalités.
Qu'est ce que l'on obtient ?

on obtient:

(on a tout additionné mais .. en colonnes)

[Pisigma]

Bonjour,

mimiiii14: tu as eu des réponses sur https://www.ilemaths.net/sujet-dm-math-sommes-des-n-premiers-carres-862021.html après de nombreux échanges.
Et maintenant- tu reviens ici; sympa pour les aidants

[mathelot]

L'addition en colonnes (x,y,z,a,b,c,d,e,f des réels):

x=a+b
y=c+d
z=e+f

x+y+z=(a+b)+(c+d)+(e+f)= (a+c+e)+(b+d+f)

comprends-tu cette addition en colonnes ? elle résulte de la commutativité et de l'associativité de l'addition

[mathelot]

Est ce que tu connais le signe (sigma pour somme)
?

[mimiiii14]

Bonjour

oui d’accord merci j’ai compris pour l’addition en colonnes
il faut que j’additionne verticalement les égalités que j’ai trouvé pour
En, En-1, En-2, E3, E2 et E1 ?

[mathelot]

on additionne aussi l'égalité qui vaut , soit en tout n+1 égalités

[mimiiii14]

Bonjour,

mimiiii14: tu as eu des réponses sur https://www.ilemaths.net/sujet-dm-math-sommes-des-n-premiers-carres-862021.html après de nombreux échanges.
Et maintenant- tu reviens ici; sympa pour les aidants

Bonjour

j’ai chercher des réponses sur ces deux sites afin d’avoir différentes façon de résolutions et différents raisonnements. Je ne voulais pas manquer de respect aux aidant.

[mimiiii14]

D’accord il faut que j’additionne toutes ces égalités merci.

[mathelot]

Est ce que tu connais le signe (sigma pour somme)
?

?

[mimiiii14]

oui je connais ce signe mais je ne comprend pas trop comment est ce qu’il faut l’utiliser.

[mathelot]

voici quelques exemples:

[mimiiii14]

d’accord je vois j’ai compris et c’est avec ça que je dois montrer l’égalité à la question 4 ?

[mathelot]

non, c'était plutôt pour la question (3).

Pour la (4), on connait et , ce qui permet de calculer

[mimiiii14]

ah d’accord mais dans la question 3 je n’arrive pas faire la somme dés égalité et à trouver le même résultats.

[mathelot]

La ligne s'écrit :

On somme (n+1) égalités en faisant varier k de 0 à n: