Les n premiers entiers, carrés et cubes

[brebre54]

Bonsoir a toues et à tous, j'ai un petit souci sur un exercice et je 'arrive pas a le résoudre

1. Déterminer un polynôme f(x) du second degré tel que :

Pour tout x appartenant à R f(x+1) - f(x) = x

J'ai choisi f(x) = ax²+bx+c

Donc la je bloque à 2ax+a+b=x
Et je ne vois pas ce que je doit faire ( même si je me doute que ce n'es pas très compliqué, je manque d'inspiration ^^)

En déduire la somme S1= 1+2+3+...+n

2. Déterminer un polynôme g(x) du troisième degré tel que :

Pour tout x appartenant à R g(x+1) - g(x) = x²

en choisissant au départ g(x)=ax^3+bx²+cx+d

Je me retouve bloqué au même endroit, c'est a dire,

3ax²+3ax+a+2bx+b+c = x²

En déduire la somme S2= 1²+2²+3²+...+n²

3. idem que les deux autres avec un polynôme du 4 ème degré pour la somme des n premiers cube

je pense que c'est le même raisonnement qu'avec le premier de toute façon donc, cce ne sera pas la peine de m'expliquer

Merci d'avance ^^

[rene38]

Bonsoir

1. Passe tout dans le même membre et écris l'égalité sous la forme
x(...+...) + (...+...) = 0
Les inconnues sont a et b et l'&galité doit être vérifiée quel que soit x.

[ExarKun]

Bon allez je t'aide pour la 1)

Pour le polynôme t'y était presque, après avoir trouvé l'équation 2ax+a+b=0 il fallait simplement résoudre le système
2a = 1
a + b = 0
Ceci implique a= 1/2 et b = -1/2
Finalement ton polynôme a cette tête

Ainsi
Je te rappelle également que

Du coup tu passe a la somme dans l'équation (1)



La il faut remarquer que est ce qu'on appelle une somme télescopique c'est à dire que les deux sommes s'annulent partiellement entre elles de façon a ce qu'il ne subsiste que deux termes :

Par le même raisonnement on a

Après ces petits calculs intermédiaires revenons a notre équation (2) qui nous donne donc :


En conclusion

J'espère t'avoir éclairé et maintenant a toi de faire les autres questions :we:

[brebre54]

dsl exarkun mais j'ai rien compris avec les sigma, les somme téléscopique ou je ne sais pas trop quoi ^^

Je suis en seulement en première :triste:

j'ai compris tout de même que le polynôme du second degré vérifiant l'équation est 1/2x²-1/2x

Après notre prof nous a conseillé d'écrire :

f(2)-f(1)=1
f(3)-f(2)=2
f(4)-f(3)=3
. .
. .
. .
f(n+1)-f(n)=n

Et de tout ajouter membre à membre

et je trouve -f(1)+f(4)+f(n+1)-f(n)=6+n

Et le, reblocage :mur:

merci de votre aide

[Monsieur23]

f(2)-f(1)=1
f(3)-f(2)=2
f(4)-f(3)=3

Si tu ajoutes déjà ces égalités là, ça te donne quoi ?

[brebre54]

ba je trouve -f(1)+f(4)=6 non ???

[Monsieur23]

C'est ça.

Donc tu vois qu'il te reste f(le nombre le plus grand) - f(le nombre le plus petit).

Donc, maintenant, si tu sommes tout de 1 à n, tu as quoi ?

[brebre54]

Voila ce que je trouve

f(n+1)-f(1)=1+2+3+...+n

f(1)=0

donc f(n+1)=S1=1+2+3+...+n

Je me trompe ???

[Monsieur23]

That's it !

T'as plus qu'à calculer f(n+1), et c'est tout bon.

[brebre54]

ce qui fait 1/2(n+1)²-1/2(n+1) = n²/2+n+1/2-n/2-1/2 <=> (n²+n)/2

d'ou l'expression de tout a l'heure (n(n+1))/2

je pense que c'est ça ^^

Merci bcp, je me lance dans les n premiers carré, et je te dit ce que je trouve ^^

encore merci

[Monsieur23]

Oui, c'est bien ça !

C'est exactement pareil pour les questions suivantes, bon courage !

[brebre54]

Pour les n premiers carrés, je trouve pour

g(x+1) - g(x) = x²

g(x)=(x^3)/3 - x²/2 + x/6

je pense que la j'ai juste(j'ai vérifié a la calculette)

Puis je refais la même chose et j'additionne membre à membre

je trouve

S2=g(x+1)=1²+2²+3²+...+n²

S2=(n(2n²+3n+1))/6

mais je ne suis pas sur XD

[Monsieur23]

C'est bon, mais on écrit plutôt n(n+1)(2n+1)/6

[brebre54]

OK je mettrai les deux

Pour les n premiers cubes

je trouve un polynôme h(x) du 4è degré tel que

h(x+1)-h(x)=x^3

h(x)=(x^4)/4-(x^3)/2+x²/4

STP, di moi s c'est juste déja ^^

encore et encore merci d'avance

[brebre54]

je trouve

S3=h(x+1)=(n^4+2n^3+n²)/4
=n²(n²+2n+1)/6

[Monsieur23]

J'ai la flemme de vérifier pour h(x).

Mais le résultat est juste, à ceci près qu'il faut diviser par 4 ( et non par 6 ).

Et tu peux encore factoriser n²+2n+1

[brebre54]

oui pardon, c'est une faute de frappe ^^

j'ai aussi trouver la factorisation


On a donc :

S3=n²(n+1)²/4

[Monsieur23]

Ouép c'est ça.

Tu peux même remarquer que S3 = S1²... Marrant non ?