Loi de probabilité

[kadaid]

Bonjour
Un joueur joue à pile ou face 30 parties. Il gagne un euro si pile sinon il perd un euro.
X variable aléatoire qui compte le nombre de piles.
G variable aléatoire qui compte le gain du joueur.
1)donner les lois de X et G et leurs valeurs
2) calculer P(103) Donner leur intervalle de fluctuation à 95%
Réponses :
1) X et G suivent une loi binomiale B(30 ;0,5) (il y a des phrases types pour justifier)
X=[0 ;30] et G=[-30 ;30]
2) P(103) Intervalle de fluctuation :I=[p-1,96V(p(1-p)/n)) ; p+1,96V(p(1-p)/n)) ]
Elles ont le même intervalle de fluctuation I=[ 0,32 ;0,68]
Est-ce correct ? et surtout pour G ?

Merci pour vos commentaires

[paquito]

Pour X, c'est bien une loi binomiale, mais pas pour G; en fait G se calcule comme X-(30-X)=2X-30 et G ne prend que des valeurs paires; tu peux simplifier les choses en considérant G+30; ainsi tu auras P(G+30=14)=P(X=7) (G+30=0,2,4,...,58,60) ou si tu préfères, P(G=2n)=P(X=(30-2n)/2). Bon, tu sais calculer P(G=k), c'est ce qu'on demande.

Ensuite, je trouve P(10P(10
Pour l'intervalle de fluctuation, dans le cas d'une loi binomiale, je ne pense pas que ce soit pour p que l'on connait!
On obtient par contre P(0=

[kadaid]

Bonjour
Oublions la 3ieme question, elle ne fait pas partie de l'exo...
Sinon l'intervalle de fluctuation sert à accepter ou rejeter une proportion p d'un caractere d'une population à partir de la fréquence d'un échantillon.

Par contre je n'ai pas compris:

"en fait G se calcule comme X-(30-X)=2X-30 et G ne prend que des valeurs paires"

Pourquoi que des valeurs paires? Il peut gagner 4 euros puis il perd et il se retrouve avec 3 euros !

[paquito]

Bonjour
Oublions la 3ieme question, elle ne fait pas partie de l'exo...
Sinon l'intervalle de fluctuation sert à accepter ou rejeter une proportion p d'un caractere d'une population à partir de la fréquence d'un échantillon.

Par contre je n'ai pas compris:

Pourquoi que des valeurs paires? Il peut gagner 4 euros puis il perd et il se retrouve avec 3 euros !

Il joue 30 fois!
Pour la loi binomiale, on définit un autre intervalle de fluctuation. de toute façon, avec n=30, ton intervalle de fluctuation est ridicule!

[kadaid]

Bonjour Paquito
J'ai écrit n'importe quoi, je ne sais pas ou' j'avais la tête!
Voici l'énoncé exact:

Un joueur joue à pile ou face 30 parties. Il gagne un euro si pile sinon il perd un euro.
X variable aléatoire qui compte le nombre de piles.
G variable aléatoire qui compte le gain du joueur.
1°) X suit elle une loi binomiale ? Si oui donner ses paramètres
G suit elle une loi binomiale ? Si oui donner ses paramètres

2°) Donner les valeurs de X et G
Calculer P(10<=X<=20)
Donner les valeurs de G lorsque 10<=X<=20

Réponse:
Effectivement G=2X-30, comme tu l'as signalé, en raisonnant comme ceci:
Si X est le nombre de piles ( donc +X euros) alors le nombre de faces est 30-X(30-X euros en moins) ce qui donne le gain algébrique G=X-(30-X)=2X-30

Valeurs de G pour 10<=X<=20:

10<=X<=20, 2*10-30<=2X-30 <=2*20-30 donc -10<=G<=10
Toi tu trouves 10=
Maintenant je suis un peu surpris du fait que G ne suit pas une loi binomiale:
Vu ses valeurs:{...;-4;-2;0;2;4...} elle ne suis pas une loi binomiale, et pourtant c'est la même épreuve de Bernoulli que pour X: "on répète la même épreuve, à deux issues, 30 fois dans les mêmes conditions (épreuves indépendantes les unes des autres) donc c'est un shémas de Bernouilli"

Je trouve que c'est curieux!

[paquito]

Le joueur joue 30 fois donc, s'il fait X "pile" il va forcément faire 30-X "face", donc il va gagner X € et perdre (30-X) € donc son gain G (positif ou négatif) vaut X €- (30-X) €, soit G= X-(30-X)=2X-30 et comme 2X est pair et 30 aussi G ne peut être que pair (si X=11, 30-X=19 et 11-19=-8).

L'intérêt, c'est que G+30 =2X et que l'on connait bien la loi binomiale; j'appelle C(n,k) le coefficient binomial, on a P(X=k)=C(30,k)(1/2)^k(1/2)^(30-k)=C(n,k)(1/2)^30, avec k=0,1,2,....,30.
Donc P(G+30=2k)=P(X=k), ce qui est un moyen de calculer P(G), ce qu'il faut pour avoir la loi de G.

G prend les valeurs; -30, -28,.....,-2, 0, 2,..........,28, 30 soit les valeurs 2k et P(G=2k)=P(G+30=2k+30)=P(2X=2k+30)=P(X=k+15)=C(30,(k+15))(1/2)^30; tu sais donc calculer P(G=2k), donc tu as la loi de probabilité de G. C'est ce qu'on te demandes.
En ce qui concernent les intervalles de fluctuations, il n'y a pas qu'un seul modèle mais on peut en définir autant que l'on veut; le tien servirait si on lançait 30 fois une pièce de monnaie et si l'on calculait la fréquence d'apparition des "pile" pour voir si la pièce est bien équilibrée, mais de toutes façons, 30 est bien trop petit pour justifier la méthode. En 1°, le programme donne comme intervalle de fluctuation pour la loi B(n; p) l'intervalle [0; N], où N est le plus petit entier tel que P(0==0,95 donc ici [0; 19]; c'est une définition correcte, mais qu'est ce que ça donne? De plus on peut en trouver de meilleurs;par exemple on a P[10=
J'espère que toutes ces explications te serviront.

[kadaid]

G prend les valeurs; -30, -28,.....,-2, 0, 2,..........,28, 30 soit les valeurs 2k et P(G=2k)=P(G+30=2k+30)=P(2X=2k+30)=P(X=k+15)=C(30,( k+15))(1/2)^30; tu sais donc calculer P(G=2k), donc tu as la loi de probabilité de G. C'est ce qu'on te demandes.

C'est bon.