Loi binomiale

[JeanPaysan31]

Bonjour, j'avais juste une simple question. Dans mon grand oral je vais parler dans une partie de la loi binomiale dans les jeux d'argent. Je voudrais parler de la probabilité de gagner le gros lot (20 000 euros) en jouant 1000 tickets, sachant que la probabilité l'obtenir 20 000 euros est de 2/1500000. On est d'accord que je dois juste faire la formule de l'esperance de la loi binomiale, qui est n*p, donc la probabilité serait 2/1500000 * 1000 = 2000/1500000

[lyceen95]

Ton calcul est exact. Ceci dit, il n'est pas fini : 2000/1500000, ça ne fait pas sérieux. 2/1500, ça fait un peu mieux. Et 1/750, ça fait encore mieux.

Mais, plus génant, on n'est pas du tout dans le cadre de la loi binomiale.
Peux-tu rappeler précisément cette loi binomiale ?

[JeanPaysan31]

C'est juste une une loi de probabilité d'une succession d'épreuves indenpendants et identiques non ?

[JeanPaysan31]

Avec deux issues possible, souvent succes ou echec

[JeanPaysan31]

Dans mon cas on aurait donc la succession d'épreuve identiques et indépendants car on gratte plusieurs tickets dont le gain n'a pas d'influence sur les autres. De plus, les issus sont : gagner le gros lot ou ne pas gagner de gros lot

[lyceen95]

Et le mot 'Indépendant' dans la loi binomiale, il est là pour faire beau, ou il est là pour quelque chose ?

Dans ton dernier message, tu parles plus ou moins de cette indépendance.

On peut interpréter ton exercice de 2 façons : Il y a eu 1 500 000 tickets imprimés, et un seul est gagnant.
Dans ce cas ton calcul est correct, mais les tirages ne sont pas indépendants. Donc pas de loi binomiale.

Ou alors, il y a plein de tickets, et chaque ticket a une probabilité de 1/1500 000 d'être gagnant. Et tous les tickets sont indépendants les un des autres.
Dans ce cas, c'est bien une loi binomiale, mais ton calcul est faux.
A l'arrivée, avec les arrondis, le résultat obtenu sera TRES proche de ce que tu as trouvé. Mais rigoureusement, ce n'est pas ça.

Là tu donnes le nom d'une loi, mais tu en appliques une autre.

[JeanPaysan31]

Enfaite, mon énoncé c'est ca :
Nombre de tickets : Gains associés :
2 20 000 euros
12 1 000 euros
600 200 euros
3 530 50 euros
15 000 20 euros
50 000 10 euros
157 894 4 euros
100 000 2 euros
1 172 962 0 euros

Je n'ai pas compris, en quoi ces épreuves ne sont pas indépendantes ?

[JeanPaysan31]

Ou tu veux dire par la que par exemple si un ticket n'est pas gagnant, alors il y aura une infime chance en plus que le ticket d'apres soit gagnant ?

[JeanPaysan31]

Il faudrait donc par exemple que je dise qu'on gratte les tickets en meme temps ?

[vam]

Bonjour à tous
si je comprends bien, ton grand oral va être le ramassis de tout ce que des bénévoles t'auront répondu sur tous les sites où tu auras postés ...tu donneras les différents liens aux examinateurs ?
car demander de l'aide sur un site, OK ....mais enchaîner tous les sites d'aide en maths alors que tu as déjà des réponses sur les autres sites...vraiment pas élégant

[lyceen95]

Il faudrait donc par exemple que je dise qu'on gratte les tickets en meme temps ?

Tu as plusieurs tickets. Tu penses vraiment que si tu les grattes en même temps, ça va changer tes chances de gagner ???

[vam]

http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?pid=94532#p94532
https://www.ilemaths.net/sujet-sujet-grand-oral-probabilite-869657.html

[vam]

on ne les compte plus...
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,2261558

[Vassillia]

Bonjour JeanPaysan31,

Je vais essayer de t'expliquer le problème car je veux bien croire que tu n'avais pas de mauvaises intentions.
Les personnes qui répondent sur ce forum sont des bénévoles qui prennent sur leur temps pour aider les autres. Ce n'est pas toujours facile, il faut trouver l'approche pédagogique qui va bien en fonction de l'interlocuteur. Lyceen95 par exemple essayait à juste titre de te faire comprendre le problème lié au tirage sans remise.

Il est donc vécu comme un manque de respect que l'interlocuteur change de forum comme s'il zappait de chaine dès que cela ne l'intéresse plus ou que cela ne va pas assez vite. Imagine le jour du grand oral, alors que tu as mis du temps à préparer les 5 min de présentation, si le prof t’arrête au bout de 30sec en te disant que cela lui suffit et qu'on passe directement aux questions, comment le vivrais-tu ?

Bref, ce n'est pas si grave, cela fait aussi partie de l'apprentissage et on peut comprendre que l'approche du grand oral te stresse, quelques mots d'excuses seraient les bienvenus et permettront sans aucun doute de reprendre le dialogue.

[JeanPaysan31]

Bonjour, oui je suis vraiment désolé de mon comportement à votre égard. Le grand oral me stresse beaucoup, nos professeurs ne nous ont pas bien aidé car ils étaient peu informés. Effectivement, je vous ai manqué de respect et j'en suis encore sincèrement désolé, mais d'un autre coté, l'épreuve approche à grand pas et chaque minute est comptée. Vous pouvez fermé le sujet, ce sera j'accepte mes erreurs.

[Vassillia]

Comme je te disais, ce n'est pas si grave, on fait tous des erreurs que ce soit en maths ou ailleurs.
Alors pourquoi est-ce que ce n'est pas indépendant ?
Je prends un exemple plus petit pour que tu comprennes le principe, il n'y a que 10 tickets dont un seul est gagnant.

Version sans remise
Quand je choisis le premier ticket, j'ai une probabilité de 1/10 de tomber sur le gagnant
Je garde mon ticket
Si je n'ai pas gagné, quand je choisis le second ticket, j'ai une probabilité de 1/9 de tomber sur le gagnant car il ne reste plus que 9 tickets disponibles
Si j'ai déjà gagné, quand je choisis le second ticket, j'ai une probabilité de 0 tomber sur le gagnant car il n'en reste plus aucun de gagnant disponible
On n'a pas du tout indépendance et il est même certain que si je choisis 10 tickets, je vais forcément gagner
Tu ne connais peut-être pas (je ne sais pas si c'est au programme du lycée) mais je te conseille de chercher du coté d'une loi hypergéométrique pour modéliser ce problème

Version avec remise
Quand je choisis le premier ticket, j'ai une probabilité de 1/10 de tomber sur le gagnant
Je redonne mon ticket donc la situation redevient comme à l'origine
Quand je choisis le second ticket, peu importe le résultat du premier, j'ai encore une probabilité de 1/10 de tomber sur le gagnant
On a l'indépendance et c'est la loi binomiale dont tu parles.

[JeanPaysan31]

Oui merci j'ai compris. On ne peut pas utiliser de loi binomiale dans mon cas car il n y a pas de remise, les épreuves (gratter un ticket) ne sont pas indépendantes car par exemple si il y a 100 tickets perdant et qu'on gratte un ticket perdant, il restera alors 99 tickets perdants, la probabilité d'en avoir un sera alors légèrement plus faible. En fait, je voulais utiliser la loi binomiale dans mon grand oral car c'est une notion de terminale et j'estimais que c'était bien d'en intégrer. Tu me conseillerais donc de plutôt parler de loi hypergéométrique pour mon cas ?

[hdci]

Vous pouvez considérer que le tirage aléatoire sans remise est "proche d'une loi binomiale" à condition que le nombre de tickets prélevés ("échantillon" en quelque sorte) soit très petit devant le nombre de tickets total.

C'est souvent ce que vous avez eu comme information dans des exercices : on fait un sondage en interrogeant 400 personnes dans une ville, ou en choisissant au hasard 300 boulons dans une usine de fabrique de boulons (pour tester leur qualité), et l'énoncé précise "le nombre de <personnes / boulons> est suffisamment grand pour que ce soit assimilé à un tirage avec remise".

En effet, on montre que la loi hypergéométrique (qui est "prélever n dans N") a pour limite, en quelque sorte, la loi binomiale, ce qui se traduit ici par le fait que l'écart dans le calcul de P(X=k) ne se verra pas car il sera très loin dans les décimales. Pour votre grand oral, vous pouvez à condition de bien mentionner cela dire "on considèrera qu'il s'agit d'une loi binomiale, que le tirage est équivalent à un tirage avec remise" (mais évidemment, faut que le nombre de tickets au total soit très grand, par exemple vous en prélevez 100 parmi un million) et vous pouvez évoquer qu'en toute rigueur ce devrait être une autre loi qu'on appelle "hypergéométrique" (ce faisant il y a fort à parier qu'on vous pose la question "que connaissez-vous de la loi hypergéométrique").

[Vassillia]

Si tu veux faire plusieurs tirages sans remise, ce qui est le cas de ton exemple, bien obligé d'utiliser la loi hypergéométrique que l'on mette le mot ou pas. Il est vrai que lorsque le nombre de tirages est petit devant le nombre total de tickets, une approximation par une loi binomiale est possible mais il faut savoir que ce n'est qu'une approximation.
Par contre si tu veux absolument utiliser une loi binomiale, tu peux parler du loto, pourquoi ? Et bien parce qu’on remet les boules sorties donc le prochain tirage de boules a autant de chance de te faire gagner même si tu continues de miser sur les mêmes boules.
Je ne connais pas les attentes du jury du grand oral, il faudrait confirmer par des profs de lycée, mais à titre personnel je trouve que présenter la différence entre ces 2 situations est assez pertinente.

[Vassillia]

PS : pas vu la réponse de hdci avant de poster, sachant qu'il est prof de lycée, je le laisse poursuivre, ses remarques seront plus pertinentes que les miennes.