Logarithme

[coco]

Bonjour, je suis en TS et je n'arrive pas à résoudre ce problème, est ce que quelqu'un peut m'aider? Merci d'avance.

1) On considère f définie sur [0;+inf[ par f(0)=1 et pour tout x strictement supérieur à 0
f(x)=ln(x+1)/x

f est elle continue en 0 ?

2) On considère la fonction g définie sur [0;+inf[ par
g(x)=ln(x+1)-(x - x²/2 + x^3/3)

a) Etudier le sens de variation de g.
CXalculer g(0) et démontrer alors que ln(1+x) inférieur ou egal à (x - x²/2 + x^3/3) pour x positif.

b) Démontrer pour x positif: x- x²/2 inférieur ou égal à ln(1+x)

c) Etablir que pour tout x strictement positif on a:

-1/2 inférieur ou egal à (ln(x+1)-x)/x² inférieur ou egal à -1/2 + x/3

en déduire que f est dérivable en 0, et déterminer f'(x)


Merci beaucoup de m'aider car je bloque dés la première question , j'ai de réelles difficultés en maths...

Merci

[tigri]

bonjour

pour qu'une fonction f , définie en un point xo, y soit continue, il faut et il suffit que quand x tend vers xo, f ait une limite et que cette limite soit égale à f(xo)

[coco]

je n'y arrive toujours pas aidez moi s'ilvous plaît

[El_Gato]

1- Soit g la fonction . La fonction g est définie pour tout et dérivable sur son domaine de définition. On a: et en particulier, g est dérivable au point et .

Ainsi: . Ainsi f est continue en 0.

T'angoisses pas si t'as pas trouvé çà c'est assez méchant comme question pour un exo de TS.

[coco]

Oui mais la fonction f(x) = ln (x+1) / x

Que faites vous du x ?

[El_Gato]

Oui mais la fonction f(x) = ln (x+1) / x

Que faites vous du x ?

Relis bien ma réponse: ce que je montre c'est que en passant par le calcul de la dérivée de .

[coco]

Merci beaucoup j'ai enfin compris!
Pouvez vous m'aider pour la suite ? merci

[El_Gato]

Merci beaucoup j'ai enfin compris!
Pouvez vous m'aider pour la suite ? merci

La question 2 m'a pas l'air trop dure. Essaies de la faire seul. Sinon je reviens ce soir.

[coco]

Cette question est extremement dure pour moi!!

[coco]

Aidez moi s'il vous plaît j'aimerai vraiment comprendre comment on fait!!!

[chulzi]

keske tu n'a pas compris précisement.

[coco]

En fait, j'ai du mal à démontrer les affirmations...

[coco]

Personne ne peut m'aider?
Merci quand même.

[fonfon]

Salut,

2) On considère la fonction g définie sur [0;+inf[ par
g(x)=ln(x+1)-(x - x²/2 + x^3/3)

a) Etudier le sens de variation de g.
CXalculer g(0) et démontrer alors que ln(1+x) inférieur ou egal à (x - x²/2 + x^3/3) pour x positif.

pour tout x ds Dg on a g'(x)=-x^3/(x+1) <=0 sur Dg donc g est decroissante


de plus g(0)=0
comme g(0)=0 et g(x) est decroissante sur Dg alors g(x)<=0 donc

ln(x+1)-(x - x²/2 + x^3/3)<=0 soit ln(x+1)<=(x-x²/2+x^3/3)

[coco]

Etes vous sur pour g'(x)?
Car je ne trouve pas cela.
Pourriez vous me détailler le calcul s'il vous plait? Merci

[fonfon]

Re,

Etes vous sur pour g'(x)?
Car je ne trouve pas cela.
Pourriez vous me détailler le calcul s'il vous plait? Merci

g'(x)=1/(x+1)-1+x-x^2 on reduit au même denominateur soit:

g'(x)=(1-(x+1)+x(x+1)-x²(x+1))/(x+1)
g'(x)=(1-x-1+x²+x-x^3-x²)/(x+1)
g'(x)=-x^3/(x+1)

[coco]

la question c) me pose un problème, je ne vois pas du tout comment le démontrer, pouvez-vous m'aider?

[fonfon]

la question c) me pose un problème, je ne vois pas du tout comment le démontrer, pouvez-vous m'aider?

il faut se servir des questions precedentes

on a montré que ln(1+x)<=x-x²+x/3 donc ln(1+x)-x<=-x²+x^3/3 donc
(ln(1+x)-x)/x²<=-x²/x²+x^3/3x² soit (ln(1+x)-x)/x²<=-1/2+x/3

de m^me on a montrer que

x-x²/2<=ln(1+x) soit -x²/2<=ln(x+1)-x soit -x²/2x²<=(ln(x+1)-x)/x² donc

-1/2<=(ln(x+1)-x)/x²


donc on a bien:-1/2<= (ln(x+1)-x)/x² <= à -1/2 + x/3